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mercoledì 4 febbraio 2015

Libertà e verità in matematica

Il modo in cui ci occupiamo ancora oggi di numeri nelle scuole è, sostanzialmente, lo stesso modo utilizzato dai nostri antenati pitagorici, che vedevano i numeri come oggetti concreti, certo, ma in un modo che impediva loro di concepire in qualche modo l'infinito. Nel corso dei secoli l'unico che si avvicino alla rottura del confine con l'infinito fu Archimede, ma nella storia della matematica può essere considerato un caso abbastanza unico di mancato sviluppo soprattutto a causa dell'isolamento dei matematici dell'epoca e dell'evidente differenza di qualità tra il siciliano e i suoi colleghi. Per poter tornare a toccare il muro dell'infinito e servircene in maniera proficua bisognerà attendere l'arrivo di Georg Cantor.
Il matematico tedesco di fatto affrontò i numeri, rivoluzionando la matematica, utilizzando sostanzialmente gli insiemi e la logica, due strumenti che gli permisero non solo di avvicinare, ma addirittura manipolare l'infinito grazie ai numeri transfiniti. A guidare i suoi passi era probabilmente la seguente convinzione:
La vera essenza della matematica è la sua libertà.
Secondo Daniel Bonevac, questo vero e proprio mantra, scritto nel 1883, è emblematico dell'approccio libertario di Cantor alla matematica. Con questo punto fermo, Bonevac prova, allora, a scrivere una teoria della verità matematica, con l'obiettivo di spiegare alcuni fatti più o meno assodati:
1) che le affermazioni matematiche sono o necessariamente vere o necessariamente false;
2) che la verità matematica deriva essenzialmente dalla verità logica;
3) che l'esistenza in matematica coinvolge una sorta di modalità, che richiede solo la consistenza o la costruibilità.
La costruzione della teoria prende le mosse dal linguaggio matematico $L$ della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, che viene opportunamente esteso in un nuovo linguaggio, detto $L'$, contenente un insieme di costanti metalinguistiche contabili (ma non necessariamente finite). Data questa estensione, allora un qualunque predicato in $L$ sarà un predicato in $L'$ non dotato di costanti.
L'ultimo passo è la definizione di un modello parametrico $M$, definito come una coppia di applicazioni: la prima associa ad ogni predicato atomico di $L$ un valore di verità; la seconda è a sua volta un insieme di applicazioni che possiamo chiamare le regole del gioco, il che mostra in maniera esplicita, qualora ce ne fosse bisogno, come la moderna teoria dei giochi altro non è se non logica.
L'idea dell'approccio è abbastanza semplice. Prendiamo innanzitutto la frase "Ho un sassolino nella scarpa". Il suo grado di verità dipende (anche, aggiungo io) dall'inclusione nel nostro vocabolario della parola sassolino, e quindi è necessario di volta in volta estendere il linguaggio per includere la parola, o in altri termini è possibile, in base alle circostanze, restringere il gioco a situazioni in cui è vero che "ho un sassolino nella scarpa".
D'altra parte "Un certo cavallo volante si chiama Pegaso" è vera nel caso di un gioco mitologico, falsa nel caso di un gioco biologico.
In particolare quest'ultima situazione suggerisce a Bonevac di adottare un approccio che sia il più inclusivo possibile, ovvero che non escluda nessuno dei giochi possibili: in questo modo si ottiene quella che Bonevac chiama la semantica dei modelli aperti.
La matematica omnicomprensiva che emerge da questa semantica contiene al suo interno i teoremi di incompletezza di Godel, dimostrando che sono inscindibili dalla matematica stessa, ma soprattutto mostrando come essi siano più naturali che sorprendenti. Non solo: Bonevac mostra come il concetto di verità sia necessario alla matematica, che diventa esplicitamente dipendente dalla logica. D'altra parte all'interno di questa semantica non solo l'ipotesi del continuo di Cantori non è dimostrabile, ma risulta, insieme con l'assioma della scelta, falsa.
Possiamo solo supporre che, come per molti logici cantoriani, l'obiettivo iniziale di Bonevac fosse quello di costruire un sistema assiomatico al cui interno l'ipotesi del continuo risultasse vera, ma anche se tale obiettivo non è stato raggiunto, a mio modo di vedere ha invece dimostrato qualcosa che di solito diamo per assodato (e la cui negazione diventa a volte un modo per sfidare i nostri interlocutori matematici), ovvero che la matematica non è un'opinione.
Bonevac D. (1983). Freedom and truth in mathematics, Erkenntnis, 20 (1) 93-102. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/bf00166496 (pdf)

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