Introduzione al numero di Eulero

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Oggi ultimo giorno a Rho e poi settimana prossima nuova scuola. I ragazzi della quarta mi hanno preparato una festa di saluto, pero' io qualcosa di matematica fino all'ultimo giorno l'ho voluta raccontare lo stesso...

L'equazione di Eulero, definita come una delle più belle equazioni della matematica, riunisce in se due costanti matematiche, due generi di numeri differenti e una serie particolare di trasformazioni dello spazio. Le costanti sono il numero di Eulero, $e$, e il $\pi$, probabilmente quest'ultima la costante matematica per eccellenza. Le tipologie di numeri sono quelli reali, rappresentati da $e$, $\pi$ (che sono trascendenti) e in parte da $1$ e quelli immaginari, rappresentati da $i = \sqrt{-1}$. Le trasformazioni di simmetria coinvolte sono invece le rotazioni, questo perché scrivere un numero nella notazione $e^{i\varphi}$ vuol dire identificare un determinato angolo $\varphi$ (anche detto una determinata fase) e quindi anche la rotazione corrispondente.
Un qualunque numero rappresentato come $e^{ia}$ è un punto nel piano dei complessi, dove uno dei due assi è costituito da numeri reali e l'altro da numeri immaginari, e si trova su un cerchio di raggio $1$. Per avere punti posti su cerchi di raggio superiore (o inferiore) basta moltiplicare un qualunque $e^{ia}$ per una costante reale superiore (o inferiore) a $1$.
L'equazione di Eulero \[e^{i \pi} + 1 = 0\] sta quindi associando al numero $\pi$ l'angolo di $180^\circle$.
Il numero di Eulero, infine, è definito come la somma della serie \[e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\] dove $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$ e viene applicato in statistica per la definizione delle funzioni utilizzate in tale disciplina o in fisica per descrivere il decadimento di un atomo (o di una qualunque altra particella) instabile.