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mercoledì 12 ottobre 2011

L'influenza dei raggi del Sole sulla Terra

A partire dalla domanda se l'energia irradiata dal Sole è in grado di modificare, in tempi lunghi, l'orbita della Terra, Salvatore Esposito(5) dell'Università di Napoli Federico II ha realizzato ben due possibili esercizi didattici che, secondo me, possono essere proposti anche agli studenti delle scuole superiori. D'altra parte questo tipo di esercizi può essere fatto rientrare nella tipologia dei calcoli alla Fermi. Enrico Fermi, infatti, era solito calcolare in maniera molto indicativa alcune quantità fisiche di interesse, più che altro per valutarne l'ordine di grandezza. Esercizi di questo genere, in effetti, sono già stati proposti in passato ai ragazzi durante le Olimpiadi Italiane dell'Astronomia, e in quei casi l'idea di base è sempre stata quella di comprendere il problema e applicare la formula corretta per valutare la grandezza richiesta.
In questo caso il problema deve essere affrontato per passi successivi: iniziamo innanzitutto a valutare l'energia che il Sole irradia sulla Terra. Per fare questo dobbiamo partire dall'irradianza solare, ovvero dalla potenza della radiazione elettromagnetica del Sole per unità di superficie. Questa quantità, che si misura in W/m2, dagli utlimi dati(1) è di circa \[E_e \simeq 1.36 \cdot 10^3 W m^{-2}\] L'energia che ci interessa è ovviamente quella che colpisce la superficie terrestre, che è mediamente una sfera di raggio $R_E \simeq 6.4 \cdot 10^6 m$. Considerando che il Sole illumina, in ogni istante, solo metà della superficie terrestre e considerando che i raggi solari colpiscono la superficie con angoli inferiori ai 90° (e quindi con una irradianza minore rispetto a quella massima), in un giorno la quantità di energia solare che raggiunge la superficie terrestre è di \[E_S \simeq E_e \pi R_E^2 \Delta t = 1.36 \cdot 10^3 \cdot \pi \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 86400 J \simeq 1.5 \cdot 10^{22} J\] A questo punto è importante proporre alcune osservazioni agli studenti, soprattutto se l'esercizio è svolto in classe, in modo che si rendano conto della differenza tra un calcolo preciso e una valutazione dell'ordine di grandezza come quella proposta. In un calcolo che vuole provare ad essere preciso, andrebbe sottratto a $E_S$ la quantità di energia corrispondente alla radiazione riflessa dall'atmosfera.
Un altro passaggio fondamentale, che lo stesso Esposito sottolinea, è quello di utilizzare l'esercizio anche per proporre agli studenti un esempio di urto o di interazione che non necessita di alcun contatto tra i corpi interagenti (come è il caso discusso). Considerando che l'esercizio è pensato per studenti universitari, credo però che sia importante proporlo anche a studenti delle scuole superiori: con la sempre maggiore attenzione del mondo del giornalismo alla scienza, è importante riuscire a dare già in questa fase le informazioni e le nozioni necessarie per interpretare questo genere di notizie. Si potrebbe, dunque, in questa fase far partire, in caso di svolgimento in classe dell'esercizio, una discussione tra gli studenti o, nel caso di esercizio assegnato a casa, proporre agli studenti di approfondire e/o aggiungere le loro considerazioni personali.
Tornando a noi, per poter capire l'entità dello spostamento è necessario comunque passare alla dinamica e quindi calcolare l'entità dell'impulso trasferito dall'onda elettromagnetica alla Terra. In questo caso si utilizza la relazione inversa dell'impulso, ricordandosi di utilizzare $c = 3 \cdot 10^8 m s^{-1}$ come velocità(2): \[p_{em} = \frac{E_S}{c} \simeq 5 \cdot 10^{13} kg \; m \; s^{-1}\] Supponendo che tutto l'impulso dell'onda elettromagnetica venga trasferito alla Terra, l'energia acquisita da quest'ultima sarà \[\Delta E_T = \frac{p_{em}^2}{2 M_E} \simeq 211 J\] dove la massa della Terra è $M_E \simeq 6 \cdot 10^{24} kg$.
Per valutare la nuova posizione della Terra rispetto alla sua orbita precedente, bisogna ricordare che l'energia totale di un oggetto è data dalla somma tra l'energia cinetica e l'energia potenziale. Nel caso della Terra l'energia all'inizio della giornata sarà data da: \[E_1 = \frac{1}{2} M_T v_1^2 - G \frac{M_E M_S}{R_1} = -\frac{1}{2} G \frac{M_E M_S}{R_1}\] dove alla velocità si è sostituita l'espressione per la velocità orbitale.
Considerando quindi che la nuova posizione sarà data da $R_2 = R_1 + x$, con $x$ l'entità dello spostamento da calcolare, applicando la formula: \[\Delta E_T = E_2 - E_1\] è facile ricavare il valore di $x \simeq 1.2 \cdot 10^{-20} m$(3).
Questa modifica del raggio orbitale è molto piccola: se consideriamo l'angstrom, che è l'unità di misura del raggio dell'atomo, questi è $10^{-10} m$, ovvero un atomo è 10 miliardi di volte più grande della variazione appena calcolata. Questo vuol dire che nell'arco della vita del Sole come nana gialla, che dovrebbe essere di circa 4 miliardi e mezzo di anni, la variazione totale nell'orbita terrestre dovuta alla radiazione elettromagnetica sarà inferiore del raggio di un atomo come, ad esempio, l'idrogeno(4)!
Una questione accessoria che però questo esercizio può sollevare, come nota Esposito, è quella del riscaldamento della Terra, tema molto attuale grazie all'attenzione che la climatologia ha ottenuto in questi anni. Senza scendere in questo caso nei dettagli matematici, l'ingrediente fisico di base è la legge sulla quantità di calore accumulata da un corpo che aumenta la sua temperatura: \[Q = M c_E \Delta T\] dove $M$ è la massa riscaldata, $c_E$ il calore specifico della Terra, $\Delta T$ la variazione di temperatura. Valutati $Q$, $M$ e $c_E$, siamo in grado di determinare la variazione di temperatura $\Delta T$. Se però la valutazione dei dati è fatta in maniera corretta e attenta, ci si accorge di un fatto importante: non tutta la Terra si riscalda allo stesso modo. Ad esempio l'aria è quella che si riscalda di meno (dell'ordine dei 10-4 °C), mentre per quel che riguarda l'acqua siamo intorno al grado centigrado. L'esercizio, in questo modo, è anche un utile modo per mostrare a un livello semplice la complessità della scienza del clima e dare un'idea delle preoccupazioni nell'ambiente scientifico dovute ad aumenti della temperatura dell'ordine del grado centigrado.

(1)Vedi anche una versione grafica e interattiva dal SORCE.
(2) Questo può essere un ottimo momento per introdurre il seguente concetto: le onde elettromagnetiche sono in pratica dei fotoni, le particelle di luce, e quindi si muovono alla velocità della luce $c$.
(3) Ovviamente è lasciato al lettore il compito di ricavare l'espressione per $x$ e la formula della velocità orbitale. Ricordarsi di approssimare l'orbita con una circonferenza.
(4) In effetti la valutazione di Esposito è leggermente più precisa, poiché sostituisce nell'equazione per il calcolo dell'energia totale irradiata dal Sole a un giorno i 4 miliardi e mezzo di anni della vita del Sole. In questo modo si ottiene una stima che è maggiore rispetto a quanto ho spannometricamente calcolato, circa 30 km. Da un punto di vista didattico può essere interessante proporre entrambi gli approcci agli studenti e poi discutere in classe di come l'approccio alla Fermi debba, ad ogni modo, essere utilizzato con estrema attenzione.
Un altro spunto interessante potrebbe essere puramente matematico, con l'impostazione di una serie che, a partire dal calcolo proposto, valuta la variazione nell'orbita nei 4 miliardi e mezzo di tempo a disposizione.
(5) Esposito, S. (2011). Can sunlight shift the Earth onto a different orbit? Physics Education, 46 (5), 604-606 DOI: 10.1088/0031-9120/46/5/016

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