Il principio di equivalenza

Sto mettendo un po' d'ordine tra le voci fin qui scritte nel syllabus delle Olimpiadi dell'Astronomia. Il lavoro procede a ritmi lenti perché, semplicemente, sono in attesa dell'approvazione dei fondi richiesti, per cui per mantenere la mia attenzione (ma anche quella degli interessati, innanzitutto studenti e insegnanti) desta mi sono messo a fare lo sporco lavoro di revisione. In particolare, nel capitolo dedicato alla gravità c'è una voce dedicata al principio di equivalenza, una legge che stabilisce qualcosa che si ritiene in generale ovvio, ovvero che la massa gravitazionale $m_g$ che viene misurata quando ci mettiamo su una bilancia sia equivalente alla massa inerziale $m_i$, ovvero quella che si oppone al moto.
Questa distinzione è importante quando, per esempio, in un esercizio vogliamo uguagliare la forza di gravità di un oggetto in caduta libera con la forza di gravitazione universale tra lo stesso oggetto e il pianeta verso cui sta cadendo: \[m_i g = G \frac{m_i M}{r^2}\] dove $M$ è la massa del pianeta, $r$ la distanza tra il pianeta e l'oggetto.
Questa formula, di solito, viene utilizzata per ricavare il valore dell'accelerazione di gravità $g$ a partire dalla costante di gravitazione universale $G$ o, ancora meglio, viceversa. In effetti l'accelerazione di gravità è qualcosa che posso misurare facilmente e, per esempio, misurandola su diversi pianeti, posso poi ricavare $G$ e dai risultati trovati estrarre il valore corretto per la costante di gravitazione. Per fare però questo in maniera semplice e con poche incertezze ho bisogno che la massa inerziale e quella gravitazionale siano identiche, come stabilisce il principio di equivalenza, in modo da poter scrivere \[mg = G \frac{mM}{r^2}\] e semplificare così la massa $m$ dell'oggetto in caduta.
Il principio di equivalenza venne enunciato per la prima volta da Einstein⁽¹⁾ e assume una grande importanza nella teoria della relatività einsteiniana, nella fisica in generale, ma anche nel banale svolgimento degli esercizi!

A little reflection will show that the law of the equality of the inertial and gravitational mass is equivalent to the assertion that the acceleration imparted to a body by a gravitational field is independent of the nature of the body. For Newton's equation of motion in a gravitational field, written out in full, it is:
(Inertial mass) $\cdot$ (Acceleration) = (Intensity of the gravitational field) $\cdot$ (Gravitational mass)
It is only when there is numerical equality between the inertial and gravitational mass that the acceleration is independent of the nature of the body

Si può dire che un po' per tutti questi motivi è importante poter verificare tale principio con la massima precisione. A partire dal 500 (o giù di lì) sono molti gli scienziati che singolarmente o in gruppo hanno cercato di verificare questa equivalenza: se ne contano una quindicina solo nell'ultimo secolo o poco più, di cui l'ultimo è del 2008⁽²⁾ con una differenza tra massa inerziale e gravitazionale di $3 \times 10^{-14}$.

Finora tutti gli esperimenti, a partire da quelli di Loránd Eötvös, si sono svolti a terra, utilizzando pendoli o bilance di torsione, come ad esempio nell'esperimento di Schlamminger et al⁽²⁾. Eötvös compì il suo primo esperimento nel 1885, per poi raffinarlo successivamente tra il 1906 e il 1909, trovando una differenza dell'ordine di $10^{-9}$. Gli esperimenti più moderni, invece, introducendo anche un minimo di meccanica quantistica grazie all'uso dei potenziali di Yukawa⁽⁵⁾, hanno fatto largo uso della così detta bilancia di torsione, un particolare strumento che mette in interazione tra loro materiali differenti per confrontarne le accelerazioni.
La base di questa ricerca, come detto, è il principio di equivalenza, che in effetti Einstein formulò come ipotesi, una prima volta in una formulazione debole (articolo del 1907), e successivamente in una forte, che però ha quella debole come base e che può essere così descritta:
Supponiamo di essere in un ascensore in caduta libera verso la superficie della Terra, con velocità iniziale nulla. Tutti gli oggetti all'interno dell'ascensore cadranno allo stesso modo, ovvero l'accelerazione di gravità non avrà alcun effetto sulla dinamica locale, o, detto in termini più semplici, un osservatore all'interno dell'ascensore

(...) whether he is moving with an acceleration g in empty space, far away from all masses, or else he is falling in the vicinity of a body (the Earth) whose local gravitational acceleration is also g (with the same direction and opposite sign).

Una formulazione più forte, nota come Einstein Equivalence Principle, venne proposta dallo stesso fisico tedesco per la serie di articoli sulla relatività generale del 1916 (ad esempio Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, traduzione in inglese di Bose su Wikisource) e può essere schematizzata nel modo seguente:

• WEP is valid.
• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of the velocity of the freely-falling reference frame in which it is performed (Local Lorentz Invariance).
• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of where and when in the universe it is performed (Local Position Invariance)

Tutto questo si riduce, sperimentalmente, a dover misurare una differenza di accelerazioni $\Delta a$ tra, ad esempio, due corpi in caduta libera posti all'interno di uno stesso sistema. Se questa differenza non è nulla, allora il principio di equivalenza debole non può essere accettato.
A venire misurato è però il seguente rapporto \[\eta = \frac{\Delta a}{a}\] dove $a$ è una sorta accelerazione media dei corpi in caduta libera.
Ovviamente, come sappiamo in fisica, non possiamo mai essere sicuri che questo principio sia corretto, ma possiamo verificare i limiti della sua validità, cercando ovviamente di migliorare questa misura. In un certo senso è quello che hanno fatto un po' tutti gli esperimenti che fino ad ora hanno approcciato il problema, e tutti hanno in comune una caratteristica: quella di svolgersi sulla Terra.
In effetti sono in programmazione alcuni nuovi esperimenti, di cui due, europei, orbitali e un terzo, statunitense, a Terra. Quest'ultimo, in un certo senso, sembra prendere il posto dell'altra missione orbitale, cancellata per problemi di budget, MiniSTEP, che aveva come obiettivo di arrivare a una verifica dell'equivalenza fino a $10^{-17}$ e che aveva già subito un primo ridimensionamento con tanto di cambio di nome (da STEP a MiniSTEP). L'esperimento, progettato da Harvard, è Poem, ovviamente progettato per essere svolto in laboratorio utilizzando ...
In orbita, invece, andranno il francese MICRIOSCOPE, che dovrebbe prendere i dati tra l'aprile del 2016, data di lancio, e l'aprile 2017, e l'italiano "Galileo Galilei" GG (pagina Asi), anche questa si spera operativa per il 2017. Entrambe le missioni hanno come obiettivo una verifica dell'ordine di $10^{-17}$.
In particolare GG è stato recentemente testato con successo per mostrare le sue potenzialità e le sue caratteristiche in attesa di venire lanciato in una delle missioni all'interno del programma Explorer della Nasa.
C'è dunque grande interesse intorno al principio di equivalenza, non solo come sfida scientifica, ma anche come sfida tecnologica: è solo uno dei tantissimi esempi dove la scienza e le sue ricerche di base sono potenzialmente in grado di generare un notevole progresso tecnologico.

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Per i più curiosi, esiste una lista degli articoli di Einstein usciti su Annalen der Physics

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(1) La formulazione scientifica del principio di equivalenza si trova nell'articolo di Einstein, Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen, Jahrb. Radioaktiv. Elektron., 1907, vol. 4, p. 411 (pdf), di cui Anna Beck ha realizzato una traduzione per The collected papers of Alebrt Einstein, On the Relativity Principle and the Conclusions Drawn from It (pdf. Esiste anche una seconda traduzione di H. M. Schwartz contenuta nella serie di articoli Einstein’s comprehensive 1907 essay on relativity pubblicati sull'American Physical Journal (il primo della serie e un pdf che li riproduce parzialmente, insieme ad altro materiale sempre legato con la relatività).
La versione divulgativa, invece, da cui è tratta la citazione che spezza questo post in due parti, è tratta dal saggio General relativity presente sul libro The meaning of relativity (Project Gutenberg), e non, come indicato nella wiki inglese, da How I Constructed the Theory of Relativity (pdf), tradotto da Masahiro Morikawa dal testo registrato in giapponese da Jun Ishiwara, Association of Asia Pacific Physical Societies (AAPPS) Bulletin, Vol. 15, No. 2 pdf), pp. 17-19 (April 2005). Einstein richiama gli eventi del 1907 in un seminario tenuto in Giappone il 14 dicembre del 1922.
L'errore, come spesso succede, si è andato propagando: vedi The world as computation e Quora.
(2) Schlamminger, S., Choi, K.Y., Wagner, T., Gundlach, J. & Adelberger, E. (2008). Test of the Equivalence Principle Using a Rotating Torsion Balance, Physical Review Letters, 100 (4) DOI: 10.1103/PhysRevLett.100.041101 (arXiv - pdf)
(3) Nobili, A.M., Comandi, G.L., Pegna, R., Bramanti, D., Doravari, S., Maccarone, F. & Lucchesi, D.M. (2009). Testing the weak equivalence principle, Proceedings of the International Astronomical Union, 5 (S261) DOI: 10.1017/S1743921309990688 (pdf)
(4) Nobili, A.M., Shao, M., Pegna, R., Zavattini, G., Turyshev, S.G., Lucchesi, D.M., De Michele, A., Doravari, S., Comandi, G.L., Saravanan, T.R. & (2012). ‘Galileo Galilei’ (GG): space test of the weak equivalence principle to 10 and laboratory demonstrations, Classical and Quantum Gravity, 29 (18) DOI: 10.1088/0264-9381/29/18/184011 (pdf)
(5) Un tipo di potenziale dove la dipendenza dalla distanza è del tipo \[\frac{\text{e}^{-r}}{r}\]