Le grandi domande della vita: piombo e piume

Era da diverso tempo che mi frullava per la testa il voler rispondere a una delle domande dalla risposta più ovvia in assoluto:

E' più pesante un chilo di piombo o un chilo di piume?

Ovviamente la risposta è: pesano entrambi un chilo. Ragionandoci su, però, è possibile andare più o meno nella stessa direzione in cui andò Bertrand Russell per dimostrare che $1 + 1 = 2$...
Tranquilli: non scriverò un libro di diverse pagine allo scopo, ma mi accontenterò di far notare alcuni fatti particolari, molto utili soprattutto per riflettere sulle leggi fisiche coinvolte e sui concetti stessi di massa, volume, densità. E qui qualcuo avrà già capito dove voglio andare a parare!

Il principio di equivalenza

Sto mettendo un po' d'ordine tra le voci fin qui scritte nel syllabus delle Olimpiadi dell'Astronomia. Il lavoro procede a ritmi lenti perché, semplicemente, sono in attesa dell'approvazione dei fondi richiesti, per cui per mantenere la mia attenzione (ma anche quella degli interessati, innanzitutto studenti e insegnanti) desta mi sono messo a fare lo sporco lavoro di revisione. In particolare, nel capitolo dedicato alla gravità c'è una voce dedicata al principio di equivalenza, una legge che stabilisce qualcosa che si ritiene in generale ovvio, ovvero che la massa gravitazionale $m_g$ che viene misurata quando ci mettiamo su una bilancia sia equivalente alla massa inerziale $m_i$, ovvero quella che si oppone al moto.
Questa distinzione è importante quando, per esempio, in un esercizio vogliamo uguagliare la forza di gravità di un oggetto in caduta libera con la forza di gravitazione universale tra lo stesso oggetto e il pianeta verso cui sta cadendo: \[m_i g = G \frac{m_i M}{r^2}\] dove $M$ è la massa del pianeta, $r$ la distanza tra il pianeta e l'oggetto.
Questa formula, di solito, viene utilizzata per ricavare il valore dell'accelerazione di gravità $g$ a partire dalla costante di gravitazione universale $G$ o, ancora meglio, viceversa. In effetti l'accelerazione di gravità è qualcosa che posso misurare facilmente e, per esempio, misurandola su diversi pianeti, posso poi ricavare $G$ e dai risultati trovati estrarre il valore corretto per la costante di gravitazione. Per fare però questo in maniera semplice e con poche incertezze ho bisogno che la massa inerziale e quella gravitazionale siano identiche, come stabilisce il principio di equivalenza, in modo da poter scrivere \[mg = G \frac{mM}{r^2}\] e semplificare così la massa $m$ dell'oggetto in caduta.
Il principio di equivalenza venne enunciato per la prima volta da Einstein⁽¹⁾ e assume una grande importanza nella teoria della relatività einsteiniana, nella fisica in generale, ma anche nel banale svolgimento degli esercizi!

A little reflection will show that the law of the equality of the inertial and gravitational mass is equivalent to the assertion that the acceleration imparted to a body by a gravitational field is independent of the nature of the body. For Newton's equation of motion in a gravitational field, written out in full, it is:
(Inertial mass) $\cdot$ (Acceleration) = (Intensity of the gravitational field) $\cdot$ (Gravitational mass)
It is only when there is numerical equality between the inertial and gravitational mass that the acceleration is independent of the nature of the body

Si può dire che un po' per tutti questi motivi è importante poter verificare tale principio con la massima precisione. A partire dal 500 (o giù di lì) sono molti gli scienziati che singolarmente o in gruppo hanno cercato di verificare questa equivalenza: se ne contano una quindicina solo nell'ultimo secolo o poco più, di cui l'ultimo è del 2008⁽²⁾ con una differenza tra massa inerziale e gravitazionale di $3 \times 10^{-14}$.