Una corsa pitagorica

Tutti conosciamo la famosa terna pitagorica (3, 4, 5): \[3^2 + 4^2 = 5^2\] Esiste, però, una sua estensione che fa uso dei numeri triangolari: \[(4 T_n - n)^2 + \cdots (4 T_n)^2 = (4 T_n + 1)^2 + \cdots + (4 T_n+n)^2\] o in altri termini \[\sum_{i=0}^n (4 T_n - i)^2 = \sum_{i=1}^n (4 T_n + i)^2\] Un esempio, però, vale più di mille parole. Supponiamo di prendere il terzo numero triangolare, \(T_3 = 3+2+1 = 6\). Quindi \(4 T_3 = 24\). E quindi: \[21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2\] Potete verificare l'uguaglianza con la calcolatrice, ma sarebbe meglio avere una dimostrazione il più generale possibile, visto che non si possono provare tutti gli infiniti numeri triangolari.
Effettivamente una dimostrazione matematicamente formale esiste, ma qui sotto vi metto la dimostrazione senza parole di Michael Boardman pubblicata nel febbraio del 2000 sul Mathematics Magazine:

A un'osservatore un po' distratto potrebbe non sembrare così generale, ma con un po' più di attenzione potrete notare una caratteristica particolare che, invece, è decisamente generale.
A questa dimostrazione seguirà, spero presto, un Paralipomeno (sebbene tale articolo non faccia parte della serie dei Rompicapi di Alice) con la mia dimostrazione matematicamente formale. Chi non vnuole attendere, può sbirciare la dimostrazione annotata nel file linkato in precedenza, che però è diversa dalla mia proposta.