Tutti conosciamo la famosa terna pitagorica (3, 4, 5):
\[3^2 + 4^2 = 5^2\]
Esiste, però, una sua estensione che fa uso dei numeri triangolari:
\[(4 T_n - n)^2 + \cdots (4 T_n)^2 = (4 T_n + 1)^2 + \cdots + (4 T_n+n)^2\]
o in altri termini
\[\sum_{i=0}^n (4 T_n - i)^2 = \sum_{i=1}^n (4 T_n + i)^2\]
Un esempio, però, vale più di mille parole. Supponiamo di prendere il terzo numero triangolare, \(T_3 = 3+2+1 = 6\). Quindi \(4 T_3 = 24\). E quindi:
\[21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2\]
Potete verificare l'uguaglianza con la calcolatrice, ma sarebbe meglio avere una dimostrazione il più generale possibile, visto che non si possono provare tutti gli infiniti numeri triangolari.
Effettivamente una dimostrazione matematicamente formale esiste, ma qui sotto vi metto la dimostrazione senza parole di Michael Boardman pubblicata nel febbraio del 2000 sul Mathematics Magazine:
