La matematica del Nobel per la Chimica 2011

Il Nobel per la Chimica 2011 è stato assegnato a Daniel Shechtman

per la scoperta dei quasicristalli

L'articolo della scoperta, scritto con Blech, Gratias e Cahn, inizia con le seguenti parole:

Qui riportiamo l'esistenza di un solido metallico che diffrange gli elettroni come un cristallo singolo ma a un gruppo di simmetria puntuale $m \bar{35}$ (icosaedro) che è inconsistente con le traslazioni del reticolo.⁽²⁾

Le traslazioni reticolari sono, in effetti, degli strumenti molto importanti per la classificazione dei cristalli, come si capisce dalla definizione del 1992 della International Union of Crystallography:

Un cristallo è una sostanza nella quale gli atomi costituenti, le molecole, o gli ioni sono impacchettati in una struttura tridimensionale ordinata che si ripete [periodica].

La scoperta di Shechtman e colleghi era dunque molto importante: introducono, infatti, una nuova classe di cristalli, detti quasicristalli da Levine e Steinhardt solo poche settimane più tardi⁽³⁾, e un nuovo modo di vedere i cristalli stessi.
In particolare Shechtman, studiando una struttura di alluminio con il 10-14% di Manganese, insieme con i colleghi osservò che

Le simmetrie dei cristalli dettano che diversi icosaedri in una cella unitaria hanno differenti orientazioni e consentono loro di essere distorti (...)⁽²⁾

E quando osservarono il cristallo utilizzando le traslazioni reticolari:

i cristalli non possono e non esibiscono il gruppo di simmetria puntuale dell'icosaedro.⁽²⁾

Osservarono anche che la formazione della fase icosaedrica è una transizione di fase del primo ordine, poiché le due fasi (l'altra è quella delle traslazioni) coesistono per un po' durante la traslazione⁽²⁾.

Ma i quasicristalli hanno un grande interesse anche per la matematica: ad esempio De Bruijn mostrò⁽¹⁾ che le piastrellature di Penrose sono particolari quasicristalli bidimensionali. Ed è anche interessante notare che queste piastrellature sono legate con la sezione aurea, che è utilizzata per definire il sistema di coordinate di un icosaedro.
Possiamo infatti definire questo sistema di coordinate nel modo seguente⁽⁴⁾: \[(\pm u, \pm v, 0); \; (0, \pm u, \pm v); \; (\pm v, 0, \pm u)\] dove \[\frac{v}{u} = \tau - 1\] con $\tau$ sezione aurea.
Gli elementi dei gruppi puntuali icosaedrici sono le trasformazioni di simmetria che permutano i vertici dell'icosaedro. Con questa definizione, possiamo distinguere tra due gruppi icosaedrici differenti, $235 [I]$ che contiene tutte le rotazioni che lasciano invariante l'icosaedro, e $2/M \bar{35} [I_h]$, il gruppo di Al con 10–14% Mn, che contiene 120 elementi.

Questo gruppo è il prodotto diretto del gruppo icosaedrico $235 [I]$ e del gruppo costituito dall'identità e dall'inversione spaziale.⁽⁴⁾

I quattro generatori del gruppo possono essere rappresentati dalle seguenti matrici: \[D [2 (12)] = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[D [3 (143)] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] \[D [5 (1-12)] = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \tau & \frac{0.5}{\tau} \\ 0.5 \tau & \frac{0.5}{\tau} & -0.5 \\ \frac{0.5}{\tau} & 0.5 & 0.5 \tau \end{pmatrix}\] \[D [\bar{1}] = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]

---

Fatti riguardanti i quasicristalli e gli icosaedri:
Disorderly quasicrystals
Icosahedral group
Easter Is a Quasicrystal

Fatti riguardanti il Premio Nobel:
Nobel Prize in Chemistry: Further readings
WikiNotizie
il Post
Questione della decisione
Gravità Zero

---

(1) de Bruijn, N. (1981). "Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings of the plane". Nederl. Akad. Wetensch. Proc A84: 39.
(2) Shechtman, D., Blech, I., Gratias, D., & Cahn, J. (1984). Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry Physical Review Letters, 53 (20), 1951-1953 DOI: 10.1103/PhysRevLett.53.1951
(3) D. Levine, R. Steinhardt (1984) ―Quasicrystals: a new class of ordered structures‖, Physical Review Letters 53(26), pp 2477-2480.
(4) Litvin, D. (1991). The icosahedral point groups Acta Crystallographica Section A Foundations of Crystallography, 47 (2), 70-73 DOI: 10.1107/S0108767390010054