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giovedì 6 ottobre 2011

La matematica del Nobel per la Chimica 2011

Il Nobel per la Chimica 2011 è stato assegnato a Daniel Shechtman
per la scoperta dei quasicristalli
L'articolo della scoperta, scritto con Blech, Gratias e Cahn, inizia con le seguenti parole:
Qui riportiamo l'esistenza di un solido metallico che diffrange gli elettroni come un cristallo singolo ma a un gruppo di simmetria puntuale $m \bar{35}$ (icosaedro) che è inconsistente con le traslazioni del reticolo.(2)
Le traslazioni reticolari sono, in effetti, degli strumenti molto importanti per la classificazione dei cristalli, come si capisce dalla definizione del 1992 della International Union of Crystallography:
Un cristallo è una sostanza nella quale gli atomi costituenti, le molecole, o gli ioni sono impacchettati in una struttura tridimensionale ordinata che si ripete [periodica].
La scoperta di Shechtman e colleghi era dunque molto importante: introducono, infatti, una nuova classe di cristalli, detti quasicristalli da Levine e Steinhardt solo poche settimane più tardi(3), e un nuovo modo di vedere i cristalli stessi.
In particolare Shechtman, studiando una struttura di alluminio con il 10-14% di Manganese, insieme con i colleghi osservò che
Le simmetrie dei cristalli dettano che diversi icosaedri in una cella unitaria hanno differenti orientazioni e consentono loro di essere distorti (...)(2)
E quando osservarono il cristallo utilizzando le traslazioni reticolari:
i cristalli non possono e non esibiscono il gruppo di simmetria puntuale dell'icosaedro.(2)
Osservarono anche che la formazione della fase icosaedrica è una transizione di fase del primo ordine, poiché le due fasi (l'altra è quella delle traslazioni) coesistono per un po' durante la traslazione(2).
Ma i quasicristalli hanno un grande interesse anche per la matematica: ad esempio De Bruijn mostrò(1) che le piastrellature di Penrose sono particolari quasicristalli bidimensionali. Ed è anche interessante notare che queste piastrellature sono legate con la sezione aurea, che è utilizzata per definire il sistema di coordinate di un icosaedro.
Possiamo infatti definire questo sistema di coordinate nel modo seguente(4): \[(\pm u, \pm v, 0); \; (0, \pm u, \pm v); \; (\pm v, 0, \pm u)\] dove \[\frac{v}{u} = \tau - 1\] con $\tau$ sezione aurea.
Gli elementi dei gruppi puntuali icosaedrici sono le trasformazioni di simmetria che permutano i vertici dell'icosaedro. Con questa definizione, possiamo distinguere tra due gruppi icosaedrici differenti, $235 [I]$ che contiene tutte le rotazioni che lasciano invariante l'icosaedro, e $2/M \bar{35} [I_h]$, il gruppo di Al con 10–14% Mn, che contiene 120 elementi.
Questo gruppo è il prodotto diretto del gruppo icosaedrico $235 [I]$ e del gruppo costituito dall'identità e dall'inversione spaziale.(4)
I quattro generatori del gruppo possono essere rappresentati dalle seguenti matrici: \[D [2 (12)] = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] \[D [3 (143)] = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\] \[D [5 (1-12)] = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \tau & \frac{0.5}{\tau} \\ 0.5 \tau & \frac{0.5}{\tau} & -0.5 \\ \frac{0.5}{\tau} & 0.5 & 0.5 \tau \end{pmatrix}\] \[D [\bar{1}] = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Fatti riguardanti i quasicristalli e gli icosaedri:
Disorderly quasicrystals
Icosahedral group
Easter Is a Quasicrystal

Fatti riguardanti il Premio Nobel:
Nobel Prize in Chemistry: Further readings
WikiNotizie
il Post
Questione della decisione
Gravità Zero
(1) de Bruijn, N. (1981). "Algebraic theory of Penrose's non-periodic tilings of the plane". Nederl. Akad. Wetensch. Proc A84: 39.
(2) Shechtman, D., Blech, I., Gratias, D., & Cahn, J. (1984). Metallic Phase with Long-Range Orientational Order and No Translational Symmetry Physical Review Letters, 53 (20), 1951-1953 DOI: 10.1103/PhysRevLett.53.1951
(3) D. Levine, R. Steinhardt (1984) ―Quasicrystals: a new class of ordered structures‖, Physical Review Letters 53(26), pp 2477-2480.
(4) Litvin, D. (1991). The icosahedral point groups Acta Crystallographica Section A Foundations of Crystallography, 47 (2), 70-73 DOI: 10.1107/S0108767390010054

1 commento:

  1. Grazie, Gianluigi, per questo interessantissimo articolo! Ancora complimenti! :)

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