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martedì 8 gennaio 2013

Proprietà degli asintoti retti

Sul primo numero di "Annals of Mathematics", il professor E. B. Smith propone un breve contributo sulle proprietà delle rette asintotiche, intese come rette che si avvicinano a una data curva nei suoi punti di divergenza o all'infinito, che vi vado a tradurre.
Buona lettura.

1. Il raggio-vettore dall'origine a un punto all'infinito è parallelo all'asintoto contenente quel punto. Quindi, se dall'equazione di ogni raggio di tale genere, $y = \mu x$, sostituiamo la $y$ nell'equazione algebrica di una curva, $\varphi (x, y) = 0$, e da $\varphi (x, \mu x) = 0$ estraiamo un valore $\mu_\infty$ corrispondente a $x = \infty$, otteniamo l'inclinazione dell'asintoto rispetto all'asse $x$.
2. L'intercetta dell'asintoto sull'asse $y$ è uguale alla differenza $\beta$ tra l'ordinata dell'asintoto e quella del raggio vettore $y = \mu_\infty x$, per ogni ascissa. O, detta $\beta = \mu x - \mu_\infty x$ \[\beta_\infty = \frac{\mu x - \mu_\infty x}{\left ( \frac{1}{x} \right )} \underset{x \rightarrow \infty}{\rightarrow} \frac {d \mu}{d \left ( \frac{1}{x} \right )}\] poiché in $\varphi$, $y = \mu x$ è l'ordinata della curva che diventa l'ordinata dell'asintoto quando l'ascissa va all'infinito. Così l'equazione dell'asintoto è \[y = \mu_\infty x + \beta_\infty\] 3. E' ovvio che nessun termine di $\varphi$ al di sotto del più grande o dell'$n$-simo grado entra nella determinazione dei valori finiti di $\mu$. Se ci sono valori infiniti, cioè, se ci sono asintoti paralleli all'asse $y$, questi possono essere trovati dal controllo del coefficiente della potenzia di $y$ più alta in $\varphi$.
4. Se $\varphi$ è razionale, poiché sono possibili solo valori finiti di $\beta_\infty$ per un asintoto finito non parallelo all'asse $y$, nello studio di questi, oltre ai termini di $n$-simo grado in $\varphi (x, \mu x)$, sono coinvolti solo quelli di $(n-1)$-simo grado. Siano questi termini rispettivamente $x^n f \mu$ e $x^{n-1} f_1 \mu$; allora \[\frac{\varphi (x, \mu x)}{x^n} = f \mu + \frac{1}{x} f_1 \mu + \frac{1}{x^n} f_2 = 0\] e $\mu_\infty$ è trovato ponendo $f = 0$ e $\beta_\infty = - \frac{f_1}{\left ( \frac{d f}{d \mu} \right )}$.
5. Se nessuno dei coefficienti di grado più alto in $\varphi$ eccetto quello del termine $x^n$ sono zero, un valore di $\mu_\infty$ è $0$ e una linea parallela all'asse $x$ è un asintoto. Se, allo stesso tempo, $f_1$ ha $\mu$ come fattore, cioè, se $\varphi$ non ha termini puri di grado $n-1$ in $x$, allora $\beta_\infty = 0$, e l'asse $x$ è esso stesso asintoto. Le condizioni per questo risultato sono allora l'assenza dei termini puri in $x$ dei due più alti gradi in $\varphi$. Se, inoltre, $n$ non è inferiore a 4, le due potenze più basse di $x$ (dette la prima potenza e la potenza $0$) sono assenti, allora l'asse $x$ è anche una tangente, e così una tangente e un asintoto coincidono. Se $n = 3$, la cubica è formata da una conica e dall'asse $x$, e quest'ultimo può essere considerato come la forma limite di una tangente e un asintoto coincidenti.
6. Se $\varphi$ è omogenea l'origine sarà un punto multiplo di ordine $n$, e i diversi valori di $\mu$ saranno ciascuno gli stessi per ogni valore di $x$, e quindi l'equazione è quella di un sistema di $n$ linee rette per l'origine, ognuna delle quali può essere considerata la forma finale di una tangente e un asintoto coincidenti.
7. La condizione generale per una tale coincidenza può essere così stabilita:
Se $y = \mu_\infty x + \beta_\infty$ è una tangente a $\varphi (x, y) = 0$ in $x = k$, allora $\varphi (x,y) = (y - \mu_\infty x - \beta_\infty) \varphi_1 + (x-k)^2 \varphi_2 = 0$, e pertanto $(x-k)^2 \varphi_2 = 0$, o il resto della divisione di $\varphi$ per $y - \mu_\infty x - \beta_\infty$, pari a zero, produrrà l'ascissa del contatto come una di due radici uguali.
[Si dovrebbe osservare, con riferimento al punto 4, che, se $f = 0$ ha radici uguali, \frac{d f}{d \mu} sarà zero quando $\mu = \mu_\infty$. In questo caso non ci saranno asintoti a distanza finita a meno che $f_1$ non sia $0$. In quel caso $\beta_\infty$ sarà determinato dalla relazione \[\beta_\infty = \lim \frac{-2 f_2}{\frac{d f_1}{d \mu}} \, , \, [\mu = \mu_\infty]\] e così via.
Inoltre, con riferimento al punto 7, si deve notare che $y - \mu_\infty x - \beta_\infty = 0$ è tangente a $\varphi$ in $x = k$; ma non sarà anche un asintoto, a meno che $\varphi_2$ è tre gradi più basso di $\varphi_1$, per il limite del rapporto $(x-k)^2 \frac{\varphi_2}{\varphi_1}$, $[x = \infty]$, che non può altrimenti essere zero. - ED.]
Smith E.B. (1884). Rectilinear Asymptotes, The Annals of Mathematics, 1 (1) 11-12. DOI:

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