Sul primo numero di "Annals of Mathematics", il professor E. B. Smith propone un breve contributo sulle proprietà delle rette asintotiche, intese come rette che si avvicinano a una data curva nei suoi punti di divergenza o all'infinito, che vi vado a tradurre.
Buona lettura.
1. Il raggio-vettore dall'origine a un punto all'infinito è parallelo all'asintoto contenente quel punto. Quindi, se dall'equazione di ogni raggio di tale genere, $y = \mu x$, sostituiamo la $y$ nell'equazione algebrica di una curva, $\varphi (x, y) = 0$, e da $\varphi (x, \mu x) = 0$ estraiamo un valore $\mu_\infty$ corrispondente a $x = \infty$, otteniamo l'inclinazione dell'asintoto rispetto all'asse $x$.
2. L'intercetta dell'asintoto sull'asse $y$ è uguale alla differenza $\beta$ tra l'ordinata dell'asintoto e quella del raggio vettore $y = \mu_\infty x$, per ogni ascissa. O, detta $\beta = \mu x - \mu_\infty x$
\[\beta_\infty = \frac{\mu x - \mu_\infty x}{\left ( \frac{1}{x} \right )} \underset{x \rightarrow \infty}{\rightarrow} \frac {d \mu}{d \left ( \frac{1}{x} \right )}\]
poiché in $\varphi$, $y = \mu x$ è l'ordinata della curva che diventa l'ordinata dell'asintoto quando l'ascissa va all'infinito. Così l'equazione dell'asintoto è
\[y = \mu_\infty x + \beta_\infty\]
3. E' ovvio che nessun termine di $\varphi$ al di sotto del più grande o dell'$n$-simo grado entra nella determinazione dei valori finiti di $\mu$. Se ci sono valori infiniti, cioè, se ci sono asintoti paralleli all'asse $y$, questi possono essere trovati dal controllo del coefficiente della potenzia di $y$ più alta in $\varphi$.
4. Se $\varphi$ è razionale, poiché sono possibili solo valori finiti di $\beta_\infty$ per un asintoto finito non parallelo all'asse $y$, nello studio di questi, oltre ai termini di $n$-simo grado in $\varphi (x, \mu x)$, sono coinvolti solo quelli di $(n-1)$-simo grado. Siano questi termini rispettivamente $x^n f \mu$ e $x^{n-1} f_1 \mu$; allora
\[\frac{\varphi (x, \mu x)}{x^n} = f \mu + \frac{1}{x} f_1 \mu + \frac{1}{x^n} f_2 = 0\]
e $\mu_\infty$ è trovato ponendo $f = 0$ e $\beta_\infty = - \frac{f_1}{\left ( \frac{d f}{d \mu} \right )}$.
5. Se nessuno dei coefficienti di grado più alto in $\varphi$ eccetto quello del termine $x^n$ sono zero, un valore di $\mu_\infty$ è $0$ e una linea parallela all'asse $x$ è un asintoto. Se, allo stesso tempo, $f_1$ ha $\mu$ come fattore, cioè, se $\varphi$ non ha termini puri di grado $n-1$ in $x$, allora $\beta_\infty = 0$, e l'asse $x$ è esso stesso asintoto. Le condizioni per questo risultato sono allora l'assenza dei termini puri in $x$ dei due più alti gradi in $\varphi$. Se, inoltre, $n$ non è inferiore a 4, le due potenze più basse di $x$ (dette la prima potenza e la potenza $0$) sono assenti, allora l'asse $x$ è anche una tangente, e così una tangente e un asintoto coincidono. Se $n = 3$, la cubica è formata da una conica e dall'asse $x$, e quest'ultimo può essere considerato come la forma limite di una tangente e un asintoto coincidenti.
6. Se $\varphi$ è omogenea l'origine sarà un punto multiplo di ordine $n$, e i diversi valori di $\mu$ saranno ciascuno gli stessi per ogni valore di $x$, e quindi l'equazione è quella di un sistema di $n$ linee rette per l'origine, ognuna delle quali può essere considerata la forma finale di una tangente e un asintoto coincidenti.
7. La condizione generale per una tale coincidenza può essere così stabilita:
Se $y = \mu_\infty x + \beta_\infty$ è una tangente a $\varphi (x, y) = 0$ in $x = k$, allora $\varphi (x,y) = (y - \mu_\infty x - \beta_\infty) \varphi_1 + (x-k)^2 \varphi_2 = 0$, e pertanto $(x-k)^2 \varphi_2 = 0$, o il resto della divisione di $\varphi$ per $y - \mu_\infty x - \beta_\infty$, pari a zero, produrrà l'ascissa del contatto come una di due radici uguali.
[Si dovrebbe osservare, con riferimento al punto 4, che, se $f = 0$ ha radici uguali, \frac{d f}{d \mu} sarà zero quando $\mu = \mu_\infty$. In questo caso non ci saranno asintoti a distanza finita a meno che $f_1$ non sia $0$. In quel caso $\beta_\infty$ sarà determinato dalla relazione
\[\beta_\infty = \lim \frac{-2 f_2}{\frac{d f_1}{d \mu}} \, , \, [\mu = \mu_\infty]\]
e così via.
Inoltre, con riferimento al punto 7, si deve notare che $y - \mu_\infty x - \beta_\infty = 0$ è tangente a $\varphi$ in $x = k$; ma non sarà anche un asintoto, a meno che $\varphi_2$ è tre gradi più basso di $\varphi_1$, per il limite del rapporto $(x-k)^2 \frac{\varphi_2}{\varphi_1}$, $[x = \infty]$, che non può altrimenti essere zero. - ED.]
Smith E.B. (1884). Rectilinear Asymptotes, The Annals of Mathematics, 1 (1) 11-12. DOI: 10.2307/1967413
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