Estrazione approssimata di una radice

Concludiamo con questo post il trittico di traduzioni di articoli matematici tratti dal primo numero di "Annals of Mathematics". In questo caso è Henry Heaton che ci propone un algoritmo abbastanza semplice per estrarre una buona approssimazione le radici $n$-sime dei numeri naturali.

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Questo metodo è basato sull'osservazione che la radice $n$-sima di un numero è uno dei suoi $n$ fattori uguali, la media di $n$ fattori approssimativamente uguali sarà una approssimazione della radice. Ad esempio, 2 è una prima approssimazione della radice quinta di 40, e quindi \[40 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2.5\] \[2.1 = \frac{1}{5} (2+2+2+2+2.5)\] è una approssimazione ancora più stretta. Questa può essere la base per una nuova approssimazione, e così via. Più in generale⁽³⁾, se $x+h$ è la radice $n$-sima di $R$ \[\xi = \frac{(n-1)x + \frac{R}{x^{n-1}}}{n} = x + h + (n-1) \frac{h^2}{2x}\] che approssimativamente differisce dalla radice vera solo per una piccola quantità del secondo ordine. Quindi possiamo sempre prendere per $x$ il numero intero più vicino alla radice considerata, $h$ sarà una frazione propria minore di $\frac{1}{2}$, e l'errore commesso sarà inferiore di \[\frac{n-1}{8x}\] cioè, meno di $\frac{5}{4}(n-1)$ unità nell'$m$-simo decimale, dove $m$ è il numero di cifre di $x$.
La principale utilità del metodo sarà nell'estendere i limiti di applicazione delle usuali tabelle delle radici. Ad esempio, per trovare \[\sqrt[3]{3.141593}\] otteniamo da una tabella dei cubi 1.46 come prima approssimazione. Troviamo⁽¹⁾ \[3.141593 \div 1.46^2 = 1.47382\] \[\xi = 1.46461\] entro $2 \frac{1}{2}$ unità⁽²⁾ sull'ultima cifra. La radice vera è 1.46459. La successiva approssimazione dovrebbe portare nove cifre, e così via.

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(1) Forse avrò sbagliato io ad applicare la formula, ma trovo 1.46465
(2) Da leggersi come la notazione medievale: $2 + \frac{1}{2}$
(3) La prima formula per calcolare la radice approssimata $\xi$ era già stata proposta in Evans A. (1876). Extraction of Roots, The Analyst, 3 (1) 10-13. DOI: 10.2307/2636145.
In questo caso, però, Evans non propone alcun metodo per valutare l'errore commesso, come invece fa Heaton, ma dimostra già l'accuratezza della formula. A titolo di esempio vi propongo il calcolo per la radice cubica di 37:

Poiché $3 \sqrt[3]{37} = \sqrt[3]{999}$ e $(10)^3 = 1000$ \[\frac{999}{3 \times (10)^2} + \frac{2}{3} \times 10 = 3.33 + 6 \frac{2}{3} = 9.996666\] e $9.996666 \times \frac{1}{3} = 3.3322222 = \sqrt[3]{37}$

Da confrontarsi con la radice vera, che è $3.3322218$.