Questo metodo è basato sull'osservazione che la radice n-sima di un numero è uno dei suoi n fattori uguali, la media di n fattori approssimativamente uguali sarà una approssimazione della radice. Ad esempio, 2 è una prima approssimazione della radice quinta di 40, e quindi 40 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2.5
2.1 = \frac{1}{5} (2+2+2+2+2.5)
è una approssimazione ancora più stretta. Questa può essere la base per una nuova approssimazione, e così via. Più in generale(3), se x+h è la radice n-sima di R
\xi = \frac{(n-1)x + \frac{R}{x^{n-1}}}{n} = x + h + (n-1) \frac{h^2}{2x}
che approssimativamente differisce dalla radice vera solo per una piccola quantità del secondo ordine. Quindi possiamo sempre prendere per x il numero intero più vicino alla radice considerata, h sarà una frazione propria minore di \frac{1}{2}, e l'errore commesso sarà inferiore di
\frac{n-1}{8x}
cioè, meno di \frac{5}{4}(n-1) unità nell'm-simo decimale, dove m è il numero di cifre di x.
La principale utilità del metodo sarà nell'estendere i limiti di applicazione delle usuali tabelle delle radici. Ad esempio, per trovare \sqrt[3]{3.141593}
otteniamo da una tabella dei cubi 1.46 come prima approssimazione. Troviamo(1)
3.141593 \div 1.46^2 = 1.47382
\xi = 1.46461
entro 2 \frac{1}{2} unità(2) sull'ultima cifra. La radice vera è 1.46459. La successiva approssimazione dovrebbe portare nove cifre, e così via.
(1) Forse avrò sbagliato io ad applicare la formula, ma trovo 1.46465
(2) Da leggersi come la notazione medievale: 2 + \frac{1}{2}
(3) La prima formula per calcolare la radice approssimata \xi era già stata proposta in Evans A. (1876). Extraction of Roots, The Analyst, 3 (1) 10-13. DOI: 10.2307/2636145.
In questo caso, però, Evans non propone alcun metodo per valutare l'errore commesso, come invece fa Heaton, ma dimostra già l'accuratezza della formula. A titolo di esempio vi propongo il calcolo per la radice cubica di 37:
Poiché 3 \sqrt[3]{37} = \sqrt[3]{999} e (10)^3 = 1000 \frac{999}{3 \times (10)^2} + \frac{2}{3} \times 10 = 3.33 + 6 \frac{2}{3} = 9.996666Da confrontarsi con la radice vera, che è 3.3322218.e 9.996666 \times \frac{1}{3} = 3.3322222 = \sqrt[3]{37}
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