Un'iconica curva

Il mio avatar ormai da diversi anni è in effetti il pezzo di una curva matematica che in qualche modo ricorda un attrattore di Lorenz: la curva a farfalla, o butterfly curve. Questa è una curva piana trascendente che fa parte di una classe di curve descritte dall'equazione polare \[\rho = a + b \cos (n \vartheta)\] studiate da Temple Fay. In particolare il matematico statunitense scoprì la curva di equazione⁽¹⁾ \[\rho = e^{\cos \vartheta} - 2 \cos (4 \theta) + \sin^5 (\vartheta / 12)\] In effetti l'equazione con cui è oggi più nota la farfalla vede il seno al posto del coseno nell'esponenziale e $(2 \vartheta - \pi)/24$ come argomento del $sin^5$. In questo modo la farfalla risulta verticale⁽²⁾ e non orizzontale come appare nell'articolo originale di Fay.
Sulla curva a farfalla sono riuscito a trovare una bella applet su Geogebra, però cambiando le costanti moltiplicative dell'angolo all'interno delle funzioni coseno e seno (quelle non presenti nell'esponenziale) è possibile modificare la forma della curva, come mostrato in questo javascript o in questa Wolfram Demonstration. Oppure potete provare una generalizzazione estrema come la seguente funzione polare= \[\rho = e^{\cos (a \cdot \vartheta)} - A \cdot \cos (b \cdot \theta) + \sin^B (\vartheta / c)\] che poi è la funzione che ho utilizzato per ricavare il mio avatar, diventato anche icona del blog. Il problema è che, nell'ordine, non ricordo quale sito ho utilizzato per generare il grafico e quali erano i valori dei parametri $a$, $b$, $c$, $A$, $B$ che utilizzai all'epoca. Per ora mi accontento di averla disegnata usando tikz (pdf).

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1. Fay, Temple H. (May 1989). The Butterfly Curve. Amer. Math. Monthly. 96 (5): 442–443. doi:10.2307/2325155 ↩
2. Geum, Y. H., & Kim, Y. I. (2008). On the analysis and construction of the butterfly curve using Mathematica®. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 39(5), 670-678. doi:10.1080/00207390801923240 ↩