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martedì 15 ottobre 2013

Un paio di poco obiettive informazioni sulla supersimmetria

Stavo cercando di mettere a posto gli appunti su Edward Witten (che spero presto di sistemare, ovviamente), che è passato giusto ieri pomeriggio dal Dipartimento di Matematica "F. Enriques" a Milano per una delle Lezioni leonardesche qui organizzate ogni anno. Witten è un fisico teorico, l'unico fino a ora, tra tanti matematici, ad aver vinto la Medaglia Fields, per una serie di lavori teorici sicuramente centrati sulla fisica ma dal rigore matematico estremamente incredibile. Ad esempio il lavoro sui polinomi di Jones e la matematica dei nodi e il loro legame con la teoria dei campi, dove Witten mostra come, utilizzando la teoria dei gruppi e la teoria delle rappresentazioni proiettive, sia possibile studiare una particolare lagrangiana (ovvero una particolare funzione fisica che permette di estrarre le equazioni necessarie per descrivere il moto di un sistema) in un dato spaziotempo attraverso uno spaziotempo differente(5).
Questo lavoro è in qualche modo legato con un articolo probabilmente ancora più interessante dove Witten, in pratica, fonda una teoria dei campi topologica(4), che possiamo considerare basilare per la teoria delle stringhe. L'articolo è sicuramente interessante, occupandosi di porre le basi per una sorta di gravità quantistica che, soprattutto, risulti indipendente dalla costante cosmologica (uno dei crucci più grandi di Einstein), ma a un certo punto spunta una parola che attira la mia curiosità: supersimmetria.
La SUSY, come viene confidenzialmente chiamata, è una teoria che molto semplicemente associa ad ogni particella una così detta superparticella che ha la qualità di fermione se quella originale è bosone e di bosone se quella originale è fermione: ovviamente non c'è solo questo punto, ma sto semplificando, visto che l'obiettivo non è tanto discutere di quello che è oggi la supersimmetria, ma di cosa era in origine.
L'idea fondamentale della supersimmetria, infatti, non è così assurda come la si vorrebbe dipingere, almeno agli occhi di un fisico matematico medio. Il primo a introdurre questo concetto fu Hironari Miyazawa in due articoli del 1966(2) e del 1968(3). In particolare, leggendo il primo, si comprendono le motivazioni fisiche del problema: determinare una simmetria in grado di riunire sotto un'unica famiglia barioni e mesoni. L'idea, cioè, sembrerebbe quella di spostare l'attenzione della ricerca della teoria di campo definitiva, quella in grado di unificare i campi, all'unificazione delle particelle, e questo perché una simmetria di base per le particelle è molto probabilmente di base anche per i campi che queste particelle fanno interagire.
Ad ogni modo, le conclusioni del lavoro originale sono abbastanza semplici da riassumere: il gruppo di simmetria che riunisce barioni e mesoni, pur non esibendo un'algebra di Lie, presenta come sua rappresentazione più semplice una di dimensione 81 che contiene molti degli adroni fondamentali eccetto il "decimetto" barionico. Se poi si vuole includere il "decimetto", bisogna cambiare la prospettiva dalla suddivisione usuale della materia in particelle-antiparticelle a una in cui si considerano tre generi differenti di particelle, con l'introduzione di una carica frazionaria, di un numero barionico frazionario e via discorrendo. In questo modo si riescono a riprodurre tutti i barioni!
Questa idea, una volta applicata a tutte le particelle, ha generato, in più riprese, la supersimmetria, o in una visione che preferisco, una serie di teorie supersimmetriche, dove in questo caso intendo per teoria supersimmetrica una teoria che si fonda su una simmetria di base originaria dell'universo nella quale tutte le interazioni oggi note (ma anche quelle eventualmente ignote!) sono rappresentate da un'unica equazione. In questo senso sono abbastanza convinto che l'approccio supersimmetrico, o quello topologico/gruppistico, possa essere, alla distanza, quello vantaggioso: in fondo uno degli articoli fondamentali del modello standard, Symmetries of baryons and mesons di Gell-Mann(1), è un articolo ricco certamente di integrali, ma anche di commutatori e di simmetrie, elementi essenziali all'interno della teoria dei gruppi. Senza contare che questi elementi sono stati più o meno fondamentali anche negli articoli che hanno portato ai Premi Nobel 2013.
(1) Gell-Mann M. (1962). Symmetries of Baryons and Mesons, Physical Review, 125 (3) 1067-1084. DOI: (pdf)
(2) Miyazawa H. (1966). Baryon Number Changing Currents, Progress of Theoretical Physics, 36 (6) 1266-1276. DOI:
(3) Miyazawa H. (1968). Spinor Currents and Symmetries of Baryons and Mesons, Physical Review, 170 (5) 1586-1590. DOI:
(4) Witten E. (1988). Topological quantum field theory, Communications in Mathematical Physics, 117 (3) 353-386. DOI: (in open access sul project euclid)
(5) Witten E. (1989). Quantum field theory and the Jones polynomial, Communications in Mathematical Physics, 121 (3) 351-399. DOI: (in open access sul project euclid)

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