Il numero di Anatranson

ideato da @giorgiosalati!

Secondo la teoria sociologica dei 6 gradi di separazione, ogni persona sulla Terra può essere collegata a una qualche altra persona sulla terra attraverso una catena costituita da cinque distinti collegamenti. Tale teoria venne formulata per la prima volta nel 1929 nel racconto omonimo dell'ungherese Frigyes Karinthy (forse ispirato da Guglielmo Marconi e dal suo lavoro sulle onde radio).
A portare per la prima volta l'idea di Karinthy nella scienza ci pensarono Ithiel de Sola Pool del MIT e Manfred Kochen dell'IBM che, dopo un lungo lavoro di studio sulle reti sociali iniziato negli anni Sessanta del XX secolo, produssero i loro risultati nel volume Contacts and Influences.
I due cercarono di matematizzare la questione:

Dato un insieme di $N$ persone, qual è la probabilità che ogni membro di $N$ sia connesso a un altro membro attraverso $k_1$, $k_2$, $k_3$, ..., $k_n$ collegamenti?

Parte del loro lavoro fu anche lo sviluppo di una simulazione Monte Carlo basata sui dati raccolti da Michael Gurevich nei suoi studi sulle reti sociali. A partire dal lavoro di Gurevich, Stanley Milgram sviluppò la così detta teoria del mondo piccolo, nome assegnato in origine proprio da Kochen e Pool per la loro ipotesi dei sei gradi di separazione.

Il mondo è piccolo, si sa!

Secondo tale modello, due nodi qualunque all'interno di una rete finita, per quanto grande, sono collegabili da un numero relativamente piccolo di passi. Milgram sviluppò le sue idee e propose i dati raccolti in due articoli, uno di esposizione divulgativa sul primo numero di Psychology Today del 1967⁽¹⁾, quindi due anni più tardi in una esposizione più rigorosa condotta insieme con Jeffrey Travers sulle pagine di Sociometry⁽²⁾. Di fatto i due ricercatori seguirono innanzitutto l'approccio matematico di Kochen e Pool per definire i termini del problema, ridotto a porsi la domanda:

Quale è la probabilità che due qualsiasi persone, selezionate arbitrariamente da un'ampia popolazione, come quella degli Stati Uniti, si conoscano una con l'altra?

A partire da questa domanda si può formulare il problema in termini più interessanti, ovvero cercare di capire quali sono le conoscenze comuni che potrebbero metterli in collegamento uno con l'altro. Quindi si generalizza il problema con la ricerca di un insieme $B$ di individui $b_1$, $b_2$, ..., $b_k$ conoscenze comuni di due dati individui $a$, $z$. E' però possibile generalizzare ulteriormente, ovvero chiedersi se più in generale non esista un insieme $C$ in maniera tale che il collegamento sia $a$ con un individuo $b_i$ di $B$, quindi il generico $b_i$ con un individuo di $C$, e infine il generico $c_j$ con $z$. Il problema nella massima generalizzazione è dunque cercare quanti intermediari sono necessari in media per costruire una catena di conoscenze tra $a$ e $z$.
Provando a portare la ricerca con un esperimento sul campo ecco che:

Il numero medio di intermediari osservati in questo studio era superiore a cinque; una ricerca aggiuntiva (di Korte e Milgram⁽³⁾) indica che tale valore è abbastanza stabile, anche quando vengono introdotti incroci razziali.⁽²⁾

Questi risultati, come è ovvio, hanno ricevuto un certo numero di critiche, come ad esempio l'esistenza di gruppi più o meno piccoli di esseri umani isolati dal resto del mondo. In realtà ciò, semplicemente, rende velleitaria l'idea di voler generalizzare il mondo piccolo a tutto il pianeta, ma non che le cose funzionino così in un suo sottogruppo. I gradi di separazione, al contrario, se studiati opportunamente, permettono di comprendere il potenziale sociale di una comunità. Ad esempio il concetto di grado di separazione è, in effetti, fondamentale per i social network, ed è stato scoperto che su twitter questo risulta essere in media di 3.43⁽⁴⁾.

I numeri di Erdos e Bacon

La diffusione del mondo piccolo e dei 6 gradi di separazione è essenzialmente dovuta a una serie di concause, che partono dalla commedia teatrale del 1990 di John Guare, che a sua volta è stata portata sul grande schermo nel 1993 da Fred Schepisi (tra gli attori un giovane Will Smith), per poi arrivare al numero di Bacon. Questo numero indica il grado di prossimità di un qualunque attore da Kevin Bacon ed è, racconta la leggenda, ispirato a un'affermazione che l'attore avrebbe concesso a un giornalista nel 1994, secondo cui egli avrebbe lavorato con tutti gli attori di Hollywood o con qualcuno che ha lavorato con loro. Il gioco, proposto da tre studenti dell'Albright College, Craig Fass, Brian Turtle e Mike Ginelli, mirava a verificare l'affermazione di Bacon, ma di fatto ha introdotto un numero che misura la prossimità di qualunque elemento a un centro arbitrario.
Il numero di Bacon è definito così: Kevin Bacon stesso ha un numero pari a 0, attori che hanno lavorato con lui hanno un numero pari a 1, attori che hanno lavorato con questo gruppo ma non con Bacon hanno numero pari a 2, e così via.
Più o meno nello stesso modo funziona l'altro numero famoso in questo gioco dei mondi piccoli: il numero di Erdos. Paul Erdos è stato il matematico più prolifico e collaborativo del XX secolo. Per omaggiarlo venne proposto un numero, evidentemente legato alle catene del mondo piccolo, che indicasse il grado di prossimità nella catena di collaborazione: funziona proprio come il numero di Bacon e la discriminante è aver scritto un articolo con Erdos o con qualcuno che ha scritto un articolo con Erdos o con qualcuno che ha scritto un articolo con qualcun altro che ha scritto un articolo con Erdos e così via.
Di fatto anche il numero di Erdos, così come quello di Bacon, aveva all'inizio il carattere del gioco, anche se oggi viene utilizzato per testare il grado di collaborazione della comunità matematica.

Paperino e i sei gradi di separazione

Il senso del gioco dietro i sei gradi di separazione e il mondo piccolo così chiaro ai matematici, viene sfruttato splendidamente da Giorgio Salati in Paperino e i 6 gradi di separazione, storia apparsa su Topolino 3138 per i disegni di Antonello Dalena. L'avventura, divertente e dal ritmo incalzante, ruota intorno alla ricerca da parte di Paperino di avvicinare il suo regista preferito, West Anatranson, versione disneyana di Wes Anderson.

Grazie a ciò, Salati riesce a stuzzicare il lettore grazie a una serie di citazioni cinematografiche, come il Grand Budapest Hotel che diventa il Grand Paperopoli Hotel, o allo stile di Anderson, in particolare alla sua passione per le inquadrature simmetriche.
Nel suo tentativo di avvicinarsi ad Anatranson, Paperino incontra anche due attori, Andie MacDuckell, versione papera di Andie MacDowell, e Bill Duckray, disneyzzazione di Bill Murray, uno dei protagonisti di Ghostbuster, film citato nelle scene ambientate nella villa di Duckray. Il livello di cura cinematografica con cui la storia è stata scritta, lo fornisce però il titolo del film dove Duckray e MacDuckell hanno recitato insieme, Il giorno della nutria, che di fatto si riferisce al titolo originale di Ricomincio da capo, ovvero Groundhog Day.

Il gustoso inseguimento, sebbene non coroni il sogno di Paperino di recitare in un film di Anatranson, porta il gruppo di conoscenze raccolte nel corso della ricerca sul set del primo film da regista di Duckray, Paperello e i 6 gradi di separazione, che per certi versi chiude il cerchio non solo con il titolo della storia di Salati e Dalena, ma anche con le citazioni cinematografiche, visto che I 6 gradi di separazione è non solo una commedia teatrale, ma anche una pellicola cinematografica.
In conclusione: una bella e stuzzicante avventura, ricca di spunti per il lettore adulto, ma piacevole e divertente anche per i più giovani: il giusto mix per una storia di Topolino.

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(1) Milgram, S. (1967). The small world problem. Psychology today, 2(1), 60-67. (pdf)
(2) Travers, J., & Milgram, S. (1969). An Experimental Study of the Small World Problem Sociometry, 32 (4) DOI: 10.2307/2786545 (pdf)
(3) Korte, C., & Milgram, S. (1970). Acquaintance networks between racial groups: Application of the small world method. Journal of Personality and Social Psychology, 15(2), 101. (pdf)
(4) Bakhshandeh, R., Samadi, M., Azimifar, Z., & Schaeffer, J. (2011, May). Degrees of separation in social networks. In Fourth Annual Symposium on Combinatorial Search.