Paralipomeni di Alice: Il demone e la formica

Consideriamo questa una edizione speciale dei Paralipomeni di Alice, visto che non solo vi propone un problema, ma anche una sua possibile soluzione. In particolare vi propongo la soluzione del problema n.8 di Maurizio Codogno presente nella sezione dei problemi del terzo volume della raccolta Matematica. Questo il testo del problema:

Una formica si trova a un estremo di una sbarra lunga un metro e percorre un centimetro al secondo. Però un demone vuole divertirsi con la formica, e alla fine di ogni secondo allunga di un altro metro la sbarra. L'allungamento è tuttavia uniforma: quindi alla fine del primo secondo la formica passerà dal trovarsi a un centimetro dal punto di partenza su una sbarra lunga un metro al trovarsi a due centimetri dal punto di partenza su una sbarra lunga due metri. Dopo il secondo secondo (scusate il gioco di parole) la sbarra diventa lunga tre metri, e la formica, che intanto era arrivata al terzo centimetro, si trova a quattro centimetri e mezzo dal punto di partenza. La povera formica riuscirà mai ad arrivare al fondo della sbarra?

Secondo Maurizio la risposta è: si, solo che ci vorrebbe un tempo superiore all'età dell'universo. Più che la risposta, a lasciarmi perplesso è stato il modo in cui è arrivato alla soluzione. Proviamo a ragionare da fisici e osserviamo il problema dal punto di vista dell'estremo opposto al punto di partenza, quello che la formica vorrebbe raggiungere.

I problemi di Fibonacci: Inseguimenti

Il più noto problema di inseguimento è, sicuramente, il paradosso di Zenone, dove Achille insegue e sicuramente raggiunge la tartaruga. Non è mia intenzione riprendere e ripercorrere la storia di quel paradosso, ma semplicemente introdurvi al primo problema di inseguimento presente nel Liber Abaci di Fibonacci, Di un cane e di una volpe. Questo il testo, così come è presente su Giochi matematici del medioevo a cura di Nando Geronimi:

Una volpe in fuga è 50 passi davanti a un cane che la insegue. Il cane compie un tratto di 9 passi mentre la volpe ne compie uno di 6 passi.
Dopo quanti passi la volpe sarà raggiunta dal cane?

Questo problema può essere risolto sia in maniera matematica, sia in maniera fisica. Ed è in quest'ultimo modo che ve lo sottopongo, così come in questo modo l'ho fatto risolvere durante la mia (lontana ormai di mesi) ultima supplenza.
Dal punto di vista fisico possiamo decidere di cercare il percorso fatto dalla volpe prima di venire raggiunta dal cane. Per risolverlo trasformiamo il numero di passi compiuti nell'unità da volpe e cane rispettivamente nelle velocità v_v e v_c, mentre chiamiamo d la distanza che c'è tra i due animali. Fatto questo il problema è risolto: basta ragionare in termini di velocità relativa.
Supponiamo di essere una pulce sul pelo della volpe. A parte il moto in su e in giù dovuto ai sobbalzi, il cane si avvicinerà sempre di più a noi ma non con la sua velocità, ma con una inferiore

e questa è la velocità relativa del cane rispetto alla volpe. Il tempo che, quindi, il cane impiegherà per raggiungere la volpe sarà dato allora da

dove v è la velocità relativa calcolata prima.
A questo punto un'ultima equazione: usando questo tempo e la velocità della volpe scopriremo lo spazio percorso dalla volpe fino alla sua inevitabile cattura:

E se ci fate attenzione è anche la soluzione proposta da Fibonacci:

Calcola prima il prodotto tra 6 e 50, dividi poi il risultato per la differenza tra9 e 6. Il prodotto tra 6 e 50 è 300, la differenza tra 9 e 6 è 3; il rapporto tra 300 e 3 è 100 e tanti sono i passi che farà la volpe.