0,0909090909: Il gatto di Schroedinger e le potenze di 11

Secondo Uri Geller (via Peter Woit), oggi si dovrebbe aprire un portale con un altro universo!

L'idea, in effetti sembra alquanto originale, e Geller la supporta attraverso un mix di teoria delle stringhe e numerologia. D'altra parte questo miscuglio di indizi, un po' scientifici, un po' superstiziosi, è perfetto per un'opera di fantasia, una storia in parte magica in parte fantascientifica. E' ad esempio quello che ha fatto Grant Morrison con The Invisibles, fumetto di culto pubblicato in Italia dalla Magic Press e recentemente ristampato dalla Planeta DeAgostini. La serie a fumetti, dietro l'intrattenimento e l'uso della scienza e delle scoperte ancora non verificate, nasconde un intento politico, quello di raccontare il mondo e l'uso distorto che il potere fa dei mezzi di informazione. Non è però di questi aspetti che oggi voglio occuparmi, ma di quelli scientifici, in particolare dell'ipotesi dei molti mondi⁽¹⁾.
Ne Gli Invisibili, infatti, si combatte una guerra contro degli esseri provenienti da un altro universo. La base scientifica del fumetto è fornita dalla teoria delle stringhe in particolare: infatti il simbolo dei primi cristiani, il pesce, viene interpretato come una parte del simbolo dell'infinito, che a sua volta semplicemente rappresenta i due universi collegati uno all'altro, come due stringhe universali o due membrane (o brane, usando il gergo stringarolo). In effetti tutto inizia con il famoso gatto di Schroedinger:

(via Free Technology for Teachers)

L'esperimento mentale del gatto venne proposto da Schroedinger nel 1935 con l'obiettivo di dimostrare i limiti della meccanica quantistica. Ciò che Erwin non poteva sapere allora era che sarebbe stato preso realmente sul serio. Da una parte alcune conseguenze del paradosso del gatto portavano all'ipotesi già accennata dei molti mondi, ma dall'altra ci furono tentativi per realizzare veramente un sistema che riproducesse l'esperimento di uno dei padri della meccanica quantistica.
Un primo tentativo andato, a quanto pare, a buon fine è quello di Jonathan Friedman e collaboratori⁽²⁾, come scritto su physicsworld. Il gruppo ha, in effetti, realizzato una sorta di interferometro quantistico, abbreviato con l'acronimo SQUID, superconducting quantum interference device:

The simplest SQUID is a superconducting loop of inductance $L$ broken by a Josephson tunnel junction with capacitance $C$ and critical current $I_c$. In equilibrium, a dissipationless supercurrent can flow around this loop, driven by the difference between the flux that threads the loops and the external flux $\phi_x$ applied to the loop.

Schema dello SQUID

Grazie alla realizzazione nell'apparato sperimentale di cui sopra di ben due giunzioni, il gruppo è stato in grado di realizzare una sovrapposizione di stati:

Such a superposition would manifest itself in an anticrossing, where the energy-level diagram of two levels of different fluxoid states (labelled $| 0 >$ and $| 1 >$) is shown in the neighbourhood in which they would become degenerate without coherent interaction (dashed lines). Coherent tunnelling lifts the degeneracy (solid lines) so that at the degeneracy point the energy eigenstates are \[\frac{1}{2} \left ( | 0 > + | 1 > \right )\] and \[\frac{1}{2} \left ( | 0 > - | 1 > \right ) \, ,\] the symmetric and anti-symmetric superpositions. The energy difference $E$ between the two states is given approximately by $E = \epsilon^2 + \Delta^2$, where $\Delta$ is known as the tunnel splitting.

Per dimostrare l'esistenza dello splitting, condizione necessaria è che:

(...) the experimental linewidth of the states be smaller than $\Delta$⁽³⁾. The SQUID is extremely sensitive to external noise and dissipation (including that due to the measurement of ), both of which broaden the linewidth. Thus, the experimental challenges to observing coherent tunnelling are severe. The measurement apparatus must be weakly coupled to the system to preserve coherence, while the signal strength must be sufficiently large to resolve the closely spaced levels. In addition, the system must be well shielded from external noise. These challenges have frustrated previous attempts5, 6 to observe coherence in SQUIDs.

L'osservazione, però, presenta una serie di difficoltà, come ad esempio l'estrema sensibilità dello SQUID al rumore, dal quale deve essere opportunamente schermato, e alla dissipazione, senza contare che l'apparato dovrebbe anche essere in grado di preservare la coerenza,

(...) while the signal strength must be sufficiently large to resolve the closely spaced levels.

Tutti questi problemi hanno influito sui tentativi precedenti^{(4, 5)}, e a tutti questi problemi trovano risposta i ricercatori guidati da Friedman:

Nella figura è mostrata la probabilità (misurata!) di realizzare una transizione al variare del flusso $\phi_x$. Le curve, che rappresentano diversi potenziali, sono state tutte spostate verso l'alto semplicemente per una visione più chiara dell'andamento (in effetti il loro picco massimo coincide con 1). Il comportamento quantistico del sistema macroscopico viene dedotto dall'esistenza dei due picchi, che al diminuire del potenziale si separano sempre di più e raggiungono un'ampiezza identica. I due picchi corrispondono dunque a due flussi macroscopici distinti che quindi si può concludere realizzano un vero e proprio gatto di Schroedinger macroscopico.

Uno tra i più recenti tentativi di realizzare un gatto di Schroedinger risale a quest'anno (via tumblr), frutto degli sforzi del gruppo di ricerca cinese guidato da Xing-Can Yao⁽⁶⁾. I nostri, grazie al seguente apparato sperimentale:

realizzano un entanglement di otto fotoni. Questi fotoni, grazie a una serie di cristalli non-lineari, fanno entanglement, ma a bassa energia. Per ovviare al fatto che dunque il fascio è piuttosto debole, i ricercatori cinesi hanno utilizzato una sorgente laser ultravioletta in grado di produrre coppie di fotoni accoppiati a un tasso molto più alto dei laser usuali.

In conclusion, by exploiting the new techniques of ultra-bright entangled photon source, noise-reduction multi-photon interferometer and post-selection detection, we have experimentally generated and characterized the eight-photon Schrodinger-cat state. (...) One immediate application is to demonstrate the topological error correction scheme⁽⁹⁾ with eight-photon graph states. Furthermore, our eight-photon setup can serve a well-controlled few-qubit quantum simulation testbed for studying interesting phenomena in solid-state physics⁽⁸⁾, quantum chemistry⁽⁷⁾, and even biophysics⁽¹¹⁾. Finally, it should also allow tests of the stability and dynamics of diff erent families of entangled states (such as Schrodinger-cat states and one- and two-dimensional cluster states) under the eff ect of decoherence⁽¹⁰⁾, which may provide new insights into our understanding of the intriguing questions of classical to quantum transition.

(by Randall Munroe)

Però oggi, come si accennava all'inizio, è anche l'11 novembre 2011, una data che potremmo scrivere come 11/11/11 (= 0,0909090909 da cui la prima parte del titolo), una data che, scritta quindi in questo modo, non può fare altro che scatenare i numerologi (come si è capito vista la partenza dell'articolo che state leggendo). E vista la particolarità della data, così piena di 11, che è tra le altre cose un numero primo (il quinto, ad essere precisi), si potrebbe fare di quest'oggi una sorta di Powers of Eleven Day, un modo per festeggiare anche quest'anno come fu l'anno scorso con il Powers of Ten Day.

Il nostro 11, poi, è anche un numero decagonale centrato, dove questi numeri sono dati dalla formula \[5 (n^2 - n) + 1\] Tra le altre simpatiche proprietà dell'11 si ricorda che: è un numero di Lucas, dove per numero di Lucas si intende un numero intero che appartiene all'omonima serie, ispirata a quella di Fibonacci: \[L_n = L_{n-1} + L_{n-2}\] per $n > 1$ e con $L_0 = 2$, $L_1 = 1$.
Se poi applichiamo la formula ricorsiva \[S (n) = \frac{3 (2n - 3) S (n-1) - (n - 3) S (n-2)}{n}\] che è quella dei numeri supercatalani, allora scopriamo che 11 è uno di questi. Se poi facciamo un po' di salti di base, ecco che 11 in base 10 coincide con 1011 in base 2, mentre 11 in base 2 coincide con 3 in base 10.
Un poligono regolare che ha 11 lati, poi, è detto endecagono, mentre le potenze di 11 possono essere trovate usando il triangolo di Pascal. Infine se usando Wolfram alpha proviamo a calcolare la potenza $11^{11^{11}}$, scopriamo che questo è un numero di 127 cifre, qualcosa del tipo $1.019799... 10^{276}$.
Altre proprietà dell'11, invece, le potete leggere in questa intervista rilasciata da Roberto Natalini a Wired. Altri modi per onorare degnamente la giornata di oggi, però, possono essere delle conferenze, come quelle organizzate da un paio di TEDx statunitensi, quello dello Iowa e quello di Santa Barbara. Neanche gli italiani, però, sono stati con le mani in mano. Ad esempio, proprio oggi a Roma, c'è la presentazione del libro Che cosa è la scienza di Carlo Rovelli con la partecipazione di Giorgio Parisi, mentre il CICAP ha organizzato il mini-convegno I numeri non tornano in quel di Torino. Inizia oggi alle 21 con la conferenza di Odifreddi La data di oggi é un numero primo? Usi e abusi dei numeri, per poi chiudersi domenica 13 alle 13.
Al convegno, però, parteciperanno anche un paio di nostre conoscenze (gli abstract che seguono sono tratti dalla raccolta in pdf). Nella sezione mattutina di domani, infatti, con moderatore Stefano Bagnasco ecco i Rudi Mathematici, rappresentati da Rudy e Piotr, racconteranno di Matematici, Acusmatici, Fanatici (alle 10:30)

La matematica è oggi vista, e a ragione, come la più precisa, razionale e scettica delle scienze: anzi, la sua caratteristica principale è forse proprio la sua asettica poliedricità di indagatrice delle leggi del pensiero e della natura; proprietà che la rendono, prima ancora che una scienza, un perfetto e imparziale strumento di indagine per le altre scienze. Ciò non di meno, la nascita della matematica, così come ci è suggerita dalla tradizione, è non solo ammantata di mistero, ma addirittura alimentata da un’atmosfera di segreto e di iniziazione, al pari delle più esclusive e sordide società segrete. La conoscenza più profonda dei numeri e delle loro leggi era considerata tanto magica e divina da essere riservata solo a un numero ristretto di eletti – i matematici, appunto – mentre ad altri interessati era concesso solo il diritto di ascoltare alcune lezioni: e per questa ragione venivano chiamati acusmatici, termine che si potrebbe tradurre con "ascoltatori".
Fin dalle origini, i seguaci di Pitagora mescolano scoperte e superstizioni: da una parte riescono a formalizzare teoremi come quello, tutt'ora il più universalmente noto, che prende il nome dal fondatore della loro setta esclusiva; dall'altra regolamentano la loro vita sulla base di regole e divieti affatto irrazionali, come il divieto assoluto di mangiare fave. Del resto, "irrazionale" è proprio la parola chiave del loro mondo: la loro visione filosofica è riassunta dal celebre motto "tutto è numero", ma va ricordato che, per loro, numero significa soprattutto "misura", e quindi costruzione di un rapporto: un "numero irrazionale" non è quindi solo un errore, è addirittura una contraddizione in termini.
La scoperta degli irrazionali, tramite la constatazione dell’impossibilità di mettere in relazione la diagonale e il lato del quadrato, li mette così in crisi, e si tratta d’una crisi profonda, non puramente intellettuale o accademica: è la loro visione del mondo che crolla. Il mistero dei numeri sembra essere così grande da non poter essere dominato neanche dagli iniziati. Questa crisi sarà comunque superata dalla matematica: ma forse insegna che non bisogna sottovalutare il fascino del mistero e della magia, perché ha una grande attrattiva sugli uomini e, una volta domato, può rivelarsi utile alla conoscenza.

mentre più tardi (11:10) ecco arrivare Mariano Tomatis con Come usavamo i numeri per leggere nel pensiero quattro secoli fa

Il primo libro che consente di leggere nel pensiero è italiano. Realizzato nel 1607 da un nobile italiano, Andrea Ghisi, si intitola Il laberinto. Il testo implementa un gioco di prestigio basato su un sofisticato procedimento matematico. Dimenticato per secoli, il libro è stato riscoperto nel 2008 da Vanni Bossi, ma a causa della prematura scomparsa dello studioso lombardo, l’analisi del libro è stata lasciata a metà. Data l'estrema rarità del libro, sono stati necessari quasi tre anni prima che fosse possibile recuperarne una copia.
Dopo essersi lanciato sulle sue tracce, Mariano Tomatis è riuscito a ottenerne una copia digitale. Ha dunque provveduto al suo restauro e ne ha realizzato una ristampa. Ricostruita la struttura del libro, Mariano ha condotto un'analisi approfondita dei meccanismi logici e numerici su cui si basa il suo funzionamento, arrivando alla ricostruzione di una mappa completa del Laberinto. Il volume è composto da 1260 immagini, disposte in 60 gruppi per ciascuna delle 21 tavole, ognuna corrispondente a una lettera dell'alfabeto. Scelta mentalmente una figura, il libro conduce il lettore attraverso le sue pagine seguendo un percorso non lineare, che si divide in quattro a ogni tavola, creando una labirintica struttura ipertestuale. Diversi autori, incapaci di identificare uno schema logico che ne spiegasse la struttura, hanno concluso che il libro dovesse contenere qualche messaggio occulto e che dovesse essere utilizzato nell'ambito della cultura alchemica per la trasmissione di qualche codice segreto. In realtà, l’individuazione della sua struttura matematica occulta rivela una notevole sofisticazione, e in particolare svela le finalità per cui il libro venne realizzato: il suo contenuto "esoterico" consiste in un trucco da prestigiatore, grazie al quale era possibile "dimostrare" capacità telepatiche presso le corti italiane dell’epoca. Il lavoro di Andrea Ghisi si inserisce in una tradizione di "libri gioco" secenteschi il cui successo è testimoniato da numerose edizioni. La struttura ipertestuale era già presente in opere precedenti: diversi "libri delle sorti" la sfruttavano per consentire una lettura guidata dal lancio di alcuni dadi o dall'estrazione di carte da gioco; lo scopo era quello di ottenere risposte oracolari a domande sulla propria vita. Il libro di Ghisi trascende l'idea della lettura oracolare per proporre una procedura deterministica, che ha lo scopo di individuare un pensiero seguendo un percorso volutamente tortuoso, la cui complessità è legata alla classica misdirection dei giochi di prestigio.
Ne Il giardino dei sentieri che si biforcano, Jorge Luis Borges scriveva: "Ts’ui Pên disse qualche volta: «Mi ritiro a scrivere un libro». E qualche altra volta: «Mi ritiro a costruire un labirinto». Tutti pensarono a due opere; nessuno pensò che libro e labirinto fossero una cosa sola." Il libro di Andrea Ghisi realizza in modo simbolico il sogno espresso dallo scrittore argentino.

Per concludere degnamente questo lungo e vario articolo, ecco Schroedinger's cat dei Tears for Fears (in alternativa al video proposto, eccone uno con i gattini, che però non è incorporabile)

Approfondimenti:
Schroedinger's cat di John H. Lienhard (è possibile scaricare anche la versione audio)

(1) Questa interpretazione è originata principalmente dal lavoro di Hugh Everett sviluppato tra la sua tesi (pdf) e un articolo uscito su review of Modern Physics (pdf)
(2) Friedman, J., Patel, V., Chen, W., Tolpygo, S., & Lukens, J. (2000). Quantum superposition of distinct macroscopic states Nature, 406 (6791), 43-46 DOI: 10.1038/35017505
(3) Averin, D. , Friedman, J. R. & Lukens, J. E. Macroscopic resonant tunneling of magnetic flux (2000)
(4) Rouse, R. , Han, S. & Lukens, J. E. Observation of resonant tunneling between macroscopically distinct quantum levels. Phys. Rev. Lett. 75, 1614–1617 (1995).
(5) Rouse, R. , Han, S. & Lukens, J. E. in Phenomenology of Unification from Present to Future (eds Palazzi, G. D., Cosmelli, C. & Zanello, L.) 207– 224 (World Scientific, Singapore, 1998).
(6) Xing-Can Yao, Tian-Xiong Wang, Ping Xu, He Lu, Ge-Sheng Pan, Xiao-Hui Bao, Cheng-Zhi Peng, Chao-Yang Lu, Yu-Ao Chen, Jian-Wei Pan, Observation of eight-photon entanglement (7) B. P. Lanyon et al., Nature Chemistry 2, 106 (2010).
(8) X.-S. Ma et al., Nature Physics 7, 399 (2011).
(9) R. Raussendorf, J. Harrington and K. Goyal, New J. Phys. 9, 199 (2007).
(10) J. T. Barreiro et al., Nature Physics 6, 943 (2010).
(11) J. Cai, G. G. Guerreschi and H. J. Briegel, Phys. Rev. Lett. 104, 220502 (2010).