Lo spuntino

Oggi è il compleanno di Leonardo Da Vinci, simbolo dell'Expo 2015 che verrà ospitato a Milano. Su The Pictorial Arts, Thom Buchanan pubblica una vignetta di Rowland B. Wilson, cartoonist che tra le altre cose ha realizzato vignette anche per Play Boy, dedicata proprio al genio italico:

Questa? Oh, questa è giusto una piccola idea per un nuovo spuntino!

Wilson associa, dunque, la pizza all'Italia, e l'associazione è più che naturale, anche se, a quanto sembra, la pizza non è nata in Italia:

Contrariamente alle credenze popolari e ai numerosi stereotipi italiani, la pizza non ha avuto origine in Italia, ma in Grecia. Gli Antichi Greci, quando non lasciano i propri figli deformi in pasto ai lupi o si danno alla filosofia, avrebbero preso delle fette di pane e le avrebbero coperte di oli ed erbe con formaggio.
Il termine greco-bizantino per questa creazione era pita, che significa torta. La torta moderna, tuttavia, ha avuto origine in Italia, con l'aggiunta di salsa di pomodoro, ma il formaggio non è stato aggiunto fino al 1889. Così, mentre gli italiani lo hanno perfezionato, si devono ringraziare i Greci di aver pensato questa fantastica unione tra grassi e carboidrati.

I pignoli direbbero: hanno inventato le bruschette, che poi in Italia sono state trasformate in pizza, ma non sottilizziamo troppo: in fondo gli stessi statunitensi quando vengono in Italia credono di trovare le loro stesse pizze, senza pensare che forse le loro sono una variazione non proprio gustosa delle nostre.
Abbandoniamo, però, per il momento queste discussioni di filosofia del cibo e concentriamoci un attimo sulla matematica della pizza. La vignetta di Wilson, infatti, mi ha ricordato dell'esistenza di un articolo del 2009 di Rick Mabry e Paul Deiermann sul taglio della pizza. La storia di questo problema matematico inizia nel 1967 con il Problema 660 di Leslie Upton⁽¹⁾ che notò che se si taglia un cerchio con 4 corde, allora i risultanti 8 pezzi possono essere divisi nei due insiemi mostrati nella figura seguente le cui aree totali risultano uguali⁽⁶⁾:

Il teorema della pizza

If a circular pizza is divided into 8, 12, 16, ... slices by making cuts at equal angles from an arbitrary point, then the sums of the areas of alternate slices are equal.

Cui si può aggiungere anche il successivo Lemma della pizza

If two chords in a circle intersect at right angles, then the sum of the squares of the lengths of the four segments formed is a constant (the square of the length of the diameter). \[4r^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2\]

La prima soluzione risale all'anno successivo, ad opera di Michael Goldberg⁽²⁾ e coinvolge l'algebra. Egli, infatti, osservò che se ci sono $k \ge 4$ corde e $k$è dispari, allor al'area totale di un insieme di pezzi è uguale all'area totale dell'altro insieme⁽⁶⁾.
Nel 1994 Larry Carter e Stan Wagon realizzano, invece, una dimostrazione grafica del teorema⁽³⁾, di cui vi presento la versione colorata presente su Commons:

Dopo poco Allen Schwen generalizzò il risultato di Cartere Wagon a 6 corde⁽⁶⁾:

Infine nel 2012 Greg Frederickson⁽⁶⁾ propone una generalizzazione con un algoritmo che permette di dimostrare il teorema per qualunque numero di corde. Vediamo, ad esempio, la dimostrazione per 8 corde:

Non solo: grazie al metodo di Frederickson è anche possibile dimostrare il risultato del 2009 di Mabry e Deiermann⁽⁴⁾, che mostrano come, se il numero di tagli è pari (a), le aree grigie e bianche sono uguali, se il numero di tagli è dispari (b), le due aree sono differenti:

Come risultato accessorio, poi, si scopre che nel caso (a) il pezzo che contiene il centro della pizza è il più grande, mentre nel caso (b) possiamo distinguere tra due situazioni differenti: per 1, 2, 3, 7 e successivi tagli (passo 4) il pezzo più grande sarà sempre quello contenente il centro, mentre nel caso di 5, 9, 13 e successivi tagli (passo 5) il pezzo più piccolo sarà quello contenente il centro^{(4, 7)}.
Esistono, poi, altri tre teoremi sempre legati alla pizza raccontati da Shailesh Shirali nel 2011⁽⁵⁾. Il primo di questi teoremi parte dal numero $n$ di punti sulla circonferenza della pizza da cui far partire i tagli. Dato questo numero $n$ ci si può chiedere: quanti sono i pezzi che posso ricavare dalla pizza? La formula risolutiva alla domanda è la funzione \[f(n) = \binom{n}{4} + \binom{n}{2} + \binom{n}{0}\] dove \[\binom{n}{k}\] rappresenta le combinazioni di $n$ elementi presi $k$ alla volta.

Il penultimo teorema, invece, stabilisce che, dato il taglio seguente

dove ciascuno dei 6 angoli vale 60°, allora \[PA + PC + PE = PB + PD + PF\] L'ultimo teorema è il più vecchio di tutti, e ci riporta alle origini della pizza, che stabilisce che il volume occupato da una pizza di raggio $z$ e spessore $a$:

pi $z$ $z$ $a$

E quindi, come dice il saggio, non mi resta che augurarvi...

Buon appetito!

(1) L. J. Upton, Problem 660, Math. Mag. 40 (1967) 163
(2) M. Goldberg, Divisors of a circle (solution to problem 660), Math. Mag. 41 (1968) 46
(3) Carter, L., & Wagon, S. (1994). Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza Mathematics Magazine, 67 (4) DOI: 10.2307/2690845
(4) Mabry, R., & Deiermann, P. (2009). Of Cheese and Crust: A Proof of the Pizza Conjecture and Other Tasty Results American Mathematical Monthly, 116 (5), 423-438 DOI: 10.4169/193009709X470317 (pdf)
(5) Shirali, S. (2011). A pizza saga Resonance, 16 (5), 437-445 DOI: 10.1007/s12045-011-0049-5 (pdf)
(6) Greg N. Frederickson (2012). The Proof Is in the Pizza Mathematics Magazine, 85 (1), 26-33 DOI: 10.4169/math.mag.85.1.26
(7) In matematichese:
Dato un intero positivo $N$, si divide una pizza in $2N$ pezzi scegliendo un punto arbitrario $P$ e realizzando $N$ tagli dritti intorno a $P$, i tagli si intersecano per formare $2N$ angoli uguali. Si indicano alternativamente le aree dei pezzi con i colori grigio e bianco.
Sia $O$ il centro della pizza. Il totale delle aree grige e bianche soddisferà, allora, alle seguenti condizioni:
a) Quando $N \ge 4$ è pari, le aree grige sono uguali a quelle bianche, ma per tutti gli altri $N$ le grige sono uguali alle bianche se e solo se $O$ giace su un taglio.
b) Se $O$ non giace su un taglio e $N = 1$, $N = 2$, o $N$ è dispari con $N \equiv 3 (\text{mod } 4)$ allora le aree grige superano quelle bianche se e solo se $O$ appartiene ad un pezzo grigio.
c) Se $O$ non giace su un taglio e $N$ è dispari con $N \ge 5$ and $N \equiv 1 (\text{mod } 4)$, allora le aree bianche superano le grige se e solo se $O$ appartiene ad un pezzo grigio.