Dividere un triangolo

Partiamo da un triangolo equilatero, $ABC$. Scegliamo su ciascun lato un punto $X$, $Y$, $Z$ in maniera tale che le due porzioni siano in rapporto $p \, : \, q$. Usando la regola del coseno si riesce a determinare la seguente formula sul rapporto tra le aree: \[r_A = \frac{A_{ABC}}{A_{XYZ}} = \frac {(p+q)^2}{p^2 + q^2 - pq}\] Ora, se $p=q=1$, $r_A = 4$; se $p=2$, $q=1$, allora $r_A = 3$.
Il problema è: esistono altri valori interi di $p$ e $q$ tali per cui $r_A$ risulta intero? Un modo per vedere la faccendo è, ad esempio, usando geogebra, ad esempio nella sua versione 3d. In questo caso, infatti, basta porre $p=x$, $q=y$, $r_A=z$. Ovviamente con questa posizione si può anche provare a sviluppare una dimostrazione analitica, ma già solo geogebra dovrebbe convincervi che gli unici altri valori di $p$, $q$ per cui $r_A$ è intero sono i multipli dei valori su indicati.

Glaister, P. (1994). Polygon Divisions. Mathematics in School, 23(3), 29-29.