Paperino nel regno della matematica

Hamilton Luske, dopo aver realizzato la versione animata disneyana di Alice nel Paese delle Meraviglie, distribuita nel 1951, realizzerà alcuni anni più tardi Paperino nel Mondo della Matematigica, distribuito nel 1959, dove evidentemente farà confluire alcune scene che non aveva inserito nel lungometraggio tratto dai romanzi di Lewis Carroll, come per esempio la partita sulla scacchiera con Paperino vestito come l'Alice del film.
Come usuale per i fumetti disneyani, nello stesso anno del Mondo della Matemagica venne realizzato un fumetto tratto o ispirato al corto in uscita nelle sale: la storia, affidata a Don Christensen per i disegni di Tony Strobl, arrivò in Italia nel 1960 su Topolino n.233 con il titolo di Paperino nel regno della matematica e presenta alcune differenze anche sostanziali rispetto al corto di Luske, partendo proprio dall'incipit: mentre nel corto, infatti, Paperino in tenuta da cacciatore si ritrova all'improvviso nella pianura delle radici quadrate, la storia di Christensen e Strobl inizia con i soliti problemi di debiti del nostro eroe con lo zio Paperone (c'è da osservare che questi problemi, spesso utilizzati dagli autori italiani, sono stati introdotti non già da Barks, quanto dagli altri autori disneyani).

E', dunque, con il desiderio di non venire più imbrogliato dallo zio che conosce la matematica meglio del nipote, che Paperino decide di mettersi a studiare e provare a far di conto. Lavora e lavora, giunge la notte, i nipotini dormono e Paperino, stanco e stravolto, esclama:

Come vorrei che la matematica non fosse mai stata inventata!

Ed ecco che, annunciato da un tuono potente, gli appare l'imponente Spirito della Matematica, in luogo dello Spirito dell'Avventura dell'edizione italiana del corto.

Ci sono tentando con mille prove:
assegnare al π qualità nuove.
Io lo fisserei a 3,
che è più semplice per me
di 3 virgola 1 4 1 5 9
(anonimo inglese, traduzione di Popinga)

Anche in questo caso la prima tappa di Paperino è nella pianura delle radici quadrate. La radice quadrata è, come dovrebbe ben sapere il lettore, l'operazione inversa del quadrato. Ci permette, dato un qualsiasi numero reale positivo $S$, di determinare un altro numero reale positivo $x$ tale che $S = x^2$. Se il numero di partenza è un quadrato perfetto, magari uno di quelli semplici, non è difficile determinarne la radice quadrata, ma in tutti gli altri casi si opera o con la calcolatrice o per approssimazione, applicando un qualche metodo di calcolo a mano. Ad esempio si cerca il quadrato a questo più vicino di cui conosciamo la radice. Questo può essere un buon punto di partenza anche per applicare, successivamente, il più antico metodo di estrazione della radice: il metodo dei babilonesi anche noto come metodo di Erone, dal nome del matematico greco che per primo lo mise per iscritto.
L'idea è questa: nel caso in cui $x$ sovrastima il valore corretto della radice di $S$, allora il rapporto $S/x$ lo sottostima e quindi la media tra i due valori potrebbe essere un valore ragionevole per la radice quadrata cercata. Si può anche facilmente trovare l'algoritmo utilizzando pochi calcoli matematici.
Data la stima $x$, stiamo commettendo un certo valore $\varepsilon$ rispetto alla radice quadrata corretta. Allora $S = (x + \varepsilon)^2$ e calcolando il quadrato di questo binomio si può ricavare l'errore \[\varepsilon \approx \frac{S-x^2}{2x}\] questo quando l'errore è trascurabile rispetto al quadrato. Ad ogni buon conto è possibile allora stimare la radice quadrata come segue \[\sqrt{S} \approx \frac{x + \frac{S}{x}}{2}\] Quanto scritto finora lo si può ridurre a una serie geometrica così definita: \[x_{n+1} = \frac{x_n + \frac{S}{x_n}}{2}\] dove $x_0$ è la stima iniziale della radice quadrata di $S$. Il numero di passi necessario per raggiungere il risultato dipenderà dal numero di cifre decimali che desideriamo ottenere. Ovviamente ci fermeremo quando queste resteranno costanti, come nell'esempio della radice quadrata di 125348 tratto dalla en.wiki.

Dopo la sosta nella pianura delle radici quadrate il nostro Paperino prosegue il suo viaggio verso la preistoria: deve, infatti, rendersi conto dell'utilità dei numeri. Essi, innanzitutto, servono per contare gli oggetti, permettendo così un primo, rudimentale scambio. Questa semplice azione, però, prevede il dover definire dei simboli per i numeri, che ovviamente dovranno essere utilizzati per scrivere gli stessi, come per esempio 6741:

I sistemi di numerazione più antichi rendevano complesse operazioni che noi oggi consideriamo abbastanza semplici da fare anche con la semplice carta e penna, come per esempio il prodotto tra un numero di 4 cifre e uno di 3 cifre. La rivoluzione nella velocità di calcolo la portano i numeri arabi, originari dell'India ma portati in Europa da Leonardo Fibonacci dopo che questi vennero trasformati nella grafia dagli arabi, che vi aggiunsero anche lo zero.
Ora che, però, Paperino ha appreso le basi del far di conto è necessario avvicinarsi alla geometria e in particolare alla trigonometria. Le due discipline erano, per esempio, molto utilizzate dagli antichi egizi per misurare i terreni e costruire le piramidi, figure geometriche tridimensionali che si basano proprio sul triangolo, oggetto di studio della trigonometria. E sui triangoli si basano anche le cupole geodetiche, strutture potenzialmente in grado di coprire diametri di due chilometri:

La prima cupola geodetica propriamente detta fu progettata poco dopo la prima guerra mondiale da Walter Bauersfeld, ingegnere capo delle industrie ottiche Carl Zeiss, per alloggiare il proiettore di un planetario: la cupola fu brevettata e costruita nel 1922 dalla ditta Dykerhoff e Wydmann sul tetto degli impianti Zeiss di Jena, in Germania, e aperta al pubblico nello stesso anno.

La cupola geodetica venne riscoperta da Buckminster Fuller negli anni Cinquanta del XX secolo e da questi chiamata geodetica. Fuller costruì un po' di cupole geodetiche, ad esempio la Spoletosfera nel 1967.
I triangoli, però, possono essere utilizzati anche per calcolare le distanze, ad esempio quelle che ci separano dalle stelle:

Ovviamente i triangoli e la trigonometria non sono utili solo per questo, ma in una miriade di altre applicazioni, che travolgono il nostro Paperino, che allora lancia allo Spirito una nuova sfida: non c'è matematica nella musica!
Come spiega lo Spirito, e come altri hanno saputo spiegare, la matematica sta anche nella musica. Prendiamo una corda sottile ben tesa e pizzichiamola: le sue vibrazioni produrranno una nota. Blocchiamo, ora, il filo esattamente a metà: quando pizzicheremo il filo, vibrerà solo la metà pizzicata e la nota prodotta sarà la stessa ma di un'ottava più alta. E dimezzando ulteriormente il filo, saliremo di un'altra ottava e così via fino a che resta abbastanza filo da pizzicare.
Pitagora, scoperto il legame tra la musica e le frazioni, riuscì a determinare la lunghezza delle corde per le note, e quindi per suonare!
I pitagorici, ovvero i seguaci di Pitagora, erano organizzati più o meno come una setta, e quindi avevano anche un loro simbolo, il triangolo a cinque punte. La scelta su questa forma geometrica cadde a causa del suo legame con la sezione aurea, direttamente collegata con le forme della perfezione secondo gli antichi greci:

E' interessante, fumettisticamente parlando, osservare come nella storia di Christensen e Strobl non c'è alcun riferimento al tentativo di Paperino di mostrarsi anch'egli perfetto. Nel caso del fumetto, però, Paperino, accompagnato in questa porzione del viaggio dai suoi nipoti, invece che all'interno di un pentagono, si ritroverà all'interno di un alveare, la cui forma si basa sull'esagono.
Attraverso una digressione sulla neve (che non scende sui dettagli frattali di ciascun fiocco), lo Spirito porta il nostro eroe verso la circonferenza e tutte le fantastiche possibilità che ci concede, una porzione che è esattamente identica a quella mostrata nel corto di Luske, così come la lezione sul biliardo.
Il finale è, invece, completamente nuovo: Paperino, ritornato solo, si trova al cospetto di Nimbo Numbo il mago dei numeri che gli insegnerà una serie di trucchetti matematici e uno di questi, quello su cui si basa la leggenda degli scacchi, verrà utilizzato dal nostro eroe per cancellare il suo debito con lo zio: quando si dice che in matematica tutto è possibile!