Paralipomeni di Alice: Una dimostrazione triangolare

Nell'ultimo articolo delle dimostrazioni senza parole vi avevo lasciato in sospeso circa la dimostrazione formale della seguente identità: \[(4 T_n - n)^2 + \cdots (4 T_n)^2 = (4 T_n + 1)^2 + \cdots + (4 T_n+n)^2\] che utilizzando il formalismo della sommatoria può essere scritta come segue: \[\sum_{i=0}^n (4 T_n - i)^2 = \sum_{i=1}^n (4 T_n + i)^2\] Visto che, in un certo senso, c'era una domanda in sospeso, nonostante quell'articolo non apparteneva alla serie dei Rompicapi, mi è sembrato giusto riprendere la dimostrazione promessa all'interno dei Paralipomeni: d'altra parte sono anche convinto che questo problema avrebbe stuzzicato sicuramente la mente di Lewis Carroll. Per cui, procediamo!
Iniziamo con l'eseguire i due quadrati di binomio. A sinistra otteniamo: \[\sum_{i=0}^n (4T_n)^2 + i^2 - 2 (4T_n) i\] mentre a destra: \[\sum_{i=1}^n (4T_n)^2 + i^2 + 2 (4T_n) i\] Se osserviamo attentamente, le due sommatorie presentano due termini in comune, \((4T_n)^2\) e \(i^2\), mentre il terzo termine è identico a meno del segno. Questo vuol dire, ricordando che a sinistra la sommatoria parte da 0 mentre a destra da 1, che fatte tutte le semplificazioni l'identità che vogliamo dimostrare diventa: \[(4T_n)^2 - (4T_n) \sum_{i=1}^n 2i = (4T_n) \sum_{i=1}^n 2i\] che possiamo riscrivere in questo modo \[(4T_n)^2 = 2 (4T_n) \sum_{i=1}^n 2i\] Poiché non esiste alcun \(n\) per cui \(T_n = 0\), possiamo ulteriormente semplificare l'equazione come segue: \[4T_n = 2 \sum_{i=1}^n 2i = 4 \sum_{i=1}^n i\] da cui \[T_n = \sum_{i=1}^n i\] che è esattamente la definizione di numero triangolare.
E questo implica che l'equazione di partenza è, come volevamo dimostrare, un'identità.