Matematica, lezione 12: Le basi dell'analisi

Forse non esattamente il titolo più indicato quello del 12.mo volumetto della collana Matematica de La Gazzetta dello Sport. Non tanto perché i concetti raccontati ne Le basi dell'analisi di Davide Calza e Riccardo Moschetti non siano basilari o non facciano parte del famoso esame universitario di Analisi I, quanto perché già il terzo volume, Funzioni ed equazioni di Roberto Zanasi, poneva delle basi importanti proprio per l'analisi matematica. D'altra parte indicare nel titolo gli argomenti principali del volume, ovvero serie numeriche, funzioni e soprattutto concetto di limite, avrebbe rischiato di tenere lontani i lettori casuali, che però mi sembra che giunti a questo punto della collana sono da considerarsi piuttosto rari, se non nulli, considerando come funzionano le edicole italiane.
Passiamo, però, ai contenuti: i due autori riescono in maniera abbastanza semplice a riassumere l'argomento, fornendo quel minimo di strumenti per comprendere le varie definizioni e le proprietà dietro serie, funzioni e limiti. In questo senso è anche emblematico un passaggio, forse poco enfatizzato, in cui si sottolinea come una proprietà è comunque qualcosa che va dimostrato. Nel complesso quindi il libro funziona all'interno della collana inserendosi perfettamente nella linea editoriale, grazie a un formalismo tutto sommato leggero, alcune dimostrazioni scelte (altre vengono rimandate agli esercizi) e uno stile comunque ricco di esempi "concreti". Unica vera perplessità è con la serie armonica a segni alterni.
La serie armonica è definita come $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n}$$ ed è costituita da termini tutti positivi, o di segno "+".
La serie armonica a segni alterni è invece definita come $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$ In questo caso i segni dei vari termini risultano alternati, ovvero un termine ha segno "+" e quello successivo "-" e così via. Ora il valore di tale serie (...) risulta essere $\ln 2$ (vi chiediamo un atto di fede per ora=, per poi leggere più avanti L'esempio parte proprio dalla serie che abbiamo appena dimostrato essere convergente a $\ln 2$. Peccato che questa dimostrazione sia la riproposizione in altri termini dell'enunciato del teorema di Leibniz con $\ln 2$ al posto del valore del limite che andrebbe calcolato.
Posso capire che inserire a questo punto della collana, in un momento in cui gli integrali non sono stati introdotti, un calcolo alternativo del valore della serie armonica a segni alterni sia quanto meno complicato, ma avere una dimostrazione che non lo è mi sembra forse anche peggio. Soprattutto perché non ha per nulla l'aria di un refuso o di un pezzo del testo saltato.
Nella sezione delle biografie, invece, Sara Zucchini questa volta si è concentrata su due matematici (ma non solo) dell'era rivoluzionaria, l'italiano naturalizzato francese Giuseppe Luigi Lagrangia (fu egli stesso a francesizzare il suo nome) e il francese Pierre-Simon Laplace, entrambi con interessi che andavano ben oltre la semplice matematica applicata (in particolare all'astronomia: bastu pensare ai punti lagrangiani, ma probabilmente li approfondirò in futuro essendo legati al problema dei tre corpi).
Infine i giochi matematici di Maurizio Codogno, curatore della collana, in questo volume si concentrano sul teorema del valore medio di Lagrangia (o Lagrange: dipende dai vostri gusti) con diverse interessanti applicazioni sia ai numeri sia alla geometria.

La convergenza della serie armonica a segni alterni

Visto che l'ho citata, vi propongo in questa specie di appendice alla recensione vera e propria una dimostrazione, o ancor meglio un calcolo del valore della serie armonica a segni alterni. Definiamo, prima, la serie geometria, ovvero una successione di termini del tipo: $$a_n = q^n$$ dove $q$ è detto ragione della serie. Possiamo calcolare la somma della serie fermandoci a un dato $k$: $$s_k = 1 + q + q^2 + \cdots + q^k$$ Facciamo, ora, un paio di calcoli abbastanza semplici da seguire: $$s_k -1 = q + q^2 + \cdots q^k$$ $$\frac{s_k - 1}{q} = 1 + q + \cdots + q^{k-1} = s_{k-1}$$ A sua volta $$s_{k-1} = s_k - q^k$$ e così mettendo insieme le due otteniamo $$s_k = \frac{1-q^{k+1}}{1-q}$$ Inoltre se $q$ è compreso tra -1 e 1 (esclusi questi ultimi), utilizzando l'operazione di limite, è possibile mostrare che $$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \lim_{n \rightarrow \infty} s_k = \frac{1}{1-q}$$ Prendiamo ora il polinomio $$p(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots$$ Se fissiamo con $-x$ la ragione di una serie geometrica, allora, limtandoci ovviamente ai valori compresi tra -1 e 1, per quanto detto sulla somma di una serie geometrica il polinomio sarà uguale al seguente rapporto: $$p(x) = \frac{1}{1+x}$$ Se applichiamo l'operazione di integrale ad ambo i lati dell'equazione, otteniamo: $$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \ln (x+1)$$ e sostituendo $x=1$ $$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$$