Le simmetrie di una catena di Ising

Scavando nel cassetto delle bozze del blog mi sono ritrovato con l'inizio di un post che sarebbe stato perfetto in abbinato al premio Nobel per la fisica 2016, assegnato alle ricerche sulle transizioni di fase quantistiche (giusto per semplificare). Recupero ora quella bozza anticipandovi che mescolerò la teoria dei gruppi con le transizioni di fase esaminando il presunto ponte tra le catene di Ising e il gruppo $E_8$.
Iniziamo con un...

Breve ripasso sulla teoria dei gruppi

Un gruppo, in matematica, è un insieme che, dotato di un’operazione di composizione, possiede le seguenti proprietà:

1. proprietà associativa;
2. esistenza dell'elemento neutro;
3. esistenza dell'inverso.

Se l'operazione definita sull'insieme possiede anche la proprietà commutativa, allora il gruppo si dirà abeliano.
Un esempio di gruppo del tipo che si utilizza in fisica è l'insieme delle simetrie di un poligono (o più in generale una data figura geometrica, anche in tre o più dimensioni), ovvero di quelle trasformazioni che lasciano il poligono invariato. Questi gruppi sono detti gruppi di simmetria e rivestono una particolare importanza nella fisica moderna, poiché è proprio dallo studio delle simmetrie di un dato sistema fisico che si possono (o comunque potrebbero) ricavare le sue proprietà fondamentali.
I gruppi più utilizzati per lo studio delle simmetrie in fisica sono, però, i gruppi di Lie, ovvero gruppi in cui le operazioni di composizione e di inversione sono differenziabili, ovvero è possibile (semplificando) derivarle (calcolarne l'incremento in funzione della variabile). Il gruppo $E_8$ è esattamente un gruppo di Lie, e quindi non sembrerebbe così incredibile, nonostante la sua complessità matematica, ritrovarlo in un sistema fisico. Ciò che evidentemente è stupefacente è ritrovarlo in un sistema praticamente monodimensionale come una catenza di Ising. Prima, però, vediamo cos'è il modello cui il gruppo $E_8$ dovrebbe essere in qualche modo connesso.