I rompicapi di Alice: La cascata di Escher

I Rompicapi trovano una nuova e probabilmente definitiva casa su DropSea e per festeggiare l'evento provo a raccontare un po' la cascata di Escher e la matematica dietro la sua riproduzione sia nel mondo reale, sia in quello digitale.

La cascata di Escher

Era passata da poco la metà di febbraio quando esplose la mania per un video molto particolare, proposto ai suoi lettori, tra i primi, dal grande Paolo Attivissimo⁽¹⁾. Nel video potete apprezzare come venga realizzato un modellino funzionante della famosa Cascata di Escher.
Nel seguito, lungo (mettetevi comodi), esaminerò la matematica necessaria per simili costruzioni, ma anche quella che serve ai programmatori per poterle realizzare anche digitalmente. Ben lungi dall'essere omni-comprensivo, questo nuovo appuntamento con i Rompicapi cercherà semplicemente di gettare uno sguardo nel mondo della geometria proiettiva. In questo senso possiamo considerare conclusa la trilogia degli articoli sulla matematica fiabesca inaugurata da Lucia con i suoi due articoli su Alice nel Paese delle Meraviglie (parte 1, parte 2).
Bando, però, alle ciance, iniziamo il nostro viaggio, che parte in Giappone con il primo tentativo, riuscito, di riprodurre realmente la cascata di Escher ad opera dell'artista nipponico Shigeo Fukuda (vedi anche Illusion Works).

Modellino reale della Cascata di Escher di Fukuda
(su Impossible sculptures)

E' anche disponibile un video che mostra i dettagli del modellino.

(download)

Potrete dunque immaginare quale sia stato il mio stupore nel vedere la soluzione di David Goldman su Boing Boing (via Scientificando, Gravità Zero):

L'idea di Goldman, quindi, non è poi così vecchia e soprattutto è fattibile, anzi è già stata fatta! Non escludo, anzi, che lo studente tedesco conosca la realizzazione di Fukuda. Ci si potrebbe, però, chiedere, se è possibile, indipendentemente dalla presenza di acqua o meno, riuscire a costruire una struttura continua come questa o come le scale di Escher. A fornirci una risposta sostanzialmente positiva è Kokichi Sugihara, di cui avevo presentato il video vincitore del Best Illusion of the Year 2010.
In Spatial Realization of Escher's Impossible World⁽²⁾ e Computer-aided creation of impossible objects and impossible motions, Sigihara mostra molti degli oggetti che è riuscito a costruire e la matematica su cui si basano. Ovviamente tutto poggia sulla geometria e la geometria proiettiva.
Supponiamo di avere un dato sistema di assi cartesiani. All'interno dello spazio definito da questo sistema poniamo un poliedro e proiettiamo questo poliedro sul piano di equazione π: z=1 in questo modo: ciascun punto corrispondente del poliedro (3d) coinciderà con un punto appartenente al piano (2d) dall'intersezione del piano stesso e delle rette passanti per l'origine degli assi e per ciascun vertice.
Ovviamente è più facile a vedersi che a raccontarsi: