I rompicapi di Alice: Lune e arcobaleni

Quest'oggi una puntata dei Rompicapi di Alice un po' composita che ricorda quasi una puntata de Le grandi domande della vita. Dedicata alla Luna, vede un intruso, l'arcobaleno, ma ha anche un ben deciso filo rosso: la geometria.

La forma della mezzaluna

Nella notte tra il 16 e il 17 luglio la Luna, che raggiungerà la sua fase di luna piena, sperimenterà una eclissi parziale. Dopo di che la sua fase sarà calante per raggiungere il terzo quarto il 25 luglio. Nel corso dei suoi cambi di fase, la Luna mostra ogni notte porzioni della sua faccia più piccole o più grandi a seconda che la fase sia calante o crescente. Queste fasi intermedie tra luna nuova e luna piena sono spesso dette mezzelune e vengono rappresentate come due archi di circonferenza. In realtà la figura geometrica che osserviamo nel cielo è un po' più complicata di così. Supponiamo (e tale supposizione è sufficientemente corretta, vista la distanza dalla nostra stella) che i raggi del Sole che colpiscono la Luna arrivino sulla sua superficie paralleli. QUesti raggi illuminano così una porzione della Luna, che nel suo complesso è approssimabile a una sfera. Quindi la porzione illuminata dai raggi è una emisfera così come la porzione in ombra. Questo implica che la superficie di separazione tra i due emisferi è una circonferenza, generata dall'intersezione tra il piano perpendicolare ai raggi solari e la sfera lunare che viene tagliata da questo piano. A causa dell'angolazione sotto la quale osserviamo la semicirconferenza della parte rivolta verso la Terra, questa curva in realtà risulta essere una semiellisse, ovvero una ellisse tagliata a metà lungo il suo asse maggiore.

La forma dell'arcobaleno

La formazione dell'arcobaleno è un fenomeno che è stato studiato in dettaglio per la prima volta da René Descartes nel trattato del 1637 Les Météores. Fondamentalmente l'arcobaleno è un fenonemo di ottica geometrica.
Il raggio del Sole colpisce la goccia d'acqua, che è una sfera, subendo una rifrazione nell'entrare dentro la goccia, una riflessione sulla parete opposta a quella dell'ingresso e una seconda rifrazione all'uscita. Ovviamente su ciascuna goccia cade più di un raggio di luce, ottenendo deviazioni differenti anche tra raggi relativamente vicini. In generale l'angolo al vertice in questo percorso all'interno di una goccia di pioggia è circa $42^\circ$, con leggere variazioni a seconda del colore del raggio in uscita. I raggi colorati, però, escono in un vero e proprio cono di luce, dove ancora una volta l'angolo al vertice è $42^\circ$ o comunque l'angolo corrispondente a quel dato colore. Quindi anche l'occhio dell'osservatore riceverà un cono di luce con il medesimo valore per l'angolo al vertice.
Ora, se provaste a guardare attravreso un cono, la luce sembrerebbe provenire dalla base circolare del cono. Questa è solo un'illusione, ma ha come risultato che l'occhio vede un arco di luce in cielo. Allo stesso modo l'occhio vede, per ogni colore, un arco nel cielo proiettato sulla zona di confine tra pioggia e sereno. Questo arco è sempre più vicino a una semicirconfernza quanto più il Sole è basso sull'orizzonte, mentre a volte è possibile da un aereo riuscire a vedere una circonferenza completa.

La lunghezza di un "lunare"

Torniamo alla Luna con Martin Gardner. Dal suo libro Mathematical diversions vediamo il seguente quesito:

Nel romanzo di Herbert George Wells The first men in the Moon il nostro satellite naturale è abitato da insetti intelligenti che vivono in caverne sotto la superficie. Assumiamo che queste creature hanno una unictà di misura della distanza chiamata "lunare". E' stata adottata perché la superficie della luna, se espressa in lunari al quadrato, è esattamente uguale al volume della luna in lunari cubici. Il diametro della luna è 3476 km. Quanto è lungo in chilometri un lunare?⁽¹⁾

Per risolvere il quesito dobbiamo prima di tutto ricordare le espressioni per la superficie di una sfera di raggio $r$ \[A = 4 \pi r^2\] e del suo volume \[V = \frac{4}{3} \pi r^3\] Indichiamo, ora, il raggio della luna in lunari come $r_l$. Questo vuol dire che, in lunari, $A = V$ (come numero, ovviamente!). Quindi \[4 \pi r_l^2 = \frac{4}{3} \pi r_l^3\] Per cui \[r_l = 3\] Confrontando questo valore con il raggio della Luna, che è la metà del suo diametro, vediamo che un lunare è circa 579 chilometri.

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1. Nel quesito di Gardner il diametro della Luna è espresso in miglia. ↩