I rompicapi di Alice: Lune e arcobaleni

Quest'oggi una puntata dei Rompicapi di Alice un po' composita che ricorda quasi una puntata de Le grandi domande della vita. Dedicata alla Luna, vede un intruso, l'arcobaleno, ma ha anche un ben deciso filo rosso: la geometria.

La forma della mezzaluna

Nella notte tra il 16 e il 17 luglio la Luna, che raggiungerà la sua fase di luna piena, sperimenterà una eclissi parziale. Dopo di che la sua fase sarà calante per raggiungere il terzo quarto il 25 luglio. Nel corso dei suoi cambi di fase, la Luna mostra ogni notte porzioni della sua faccia più piccole o più grandi a seconda che la fase sia calante o crescente. Queste fasi intermedie tra luna nuova e luna piena sono spesso dette mezzelune e vengono rappresentate come due archi di circonferenza. In realtà la figura geometrica che osserviamo nel cielo è un po' più complicata di così. Supponiamo (e tale supposizione è sufficientemente corretta, vista la distanza dalla nostra stella) che i raggi del Sole che colpiscono la Luna arrivino sulla sua superficie paralleli. QUesti raggi illuminano così una porzione della Luna, che nel suo complesso è approssimabile a una sfera. Quindi la porzione illuminata dai raggi è una emisfera così come la porzione in ombra. Questo implica che la superficie di separazione tra i due emisferi è una circonferenza, generata dall'intersezione tra il piano perpendicolare ai raggi solari e la sfera lunare che viene tagliata da questo piano. A causa dell'angolazione sotto la quale osserviamo la semicirconferenza della parte rivolta verso la Terra, questa curva in realtà risulta essere una semiellisse, ovvero una ellisse tagliata a metà lungo il suo asse maggiore.

L'arcobaleno di Cartesio

"Sai dirmi qualcosa sul piano di Cartesio?"
...
"E' morto, quindi credo che non abbia funzionato"

via @orporick, via @_juhan

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Il 31 marzo del 1596 nasceva René Descartes, italianizzato in Renato Cartesio. Non è stato solo un filosofo o l'ideatore dell'omonimo piano, ma anche quello che oggi considereremmo un fisico-matematico. L'esempio più importante che si può portare a supporto è il modello che Cartesio sviluppò per descrivere la formazione dell'arcobaleno. In pratica, come descrive in Météores, il matematico suppose che la formazione di questo spettacolare fenomeno era dovuta alla riflessione della luce sulla superficie delle gocce d'acqua.

Questa idea era evidentemente originata dall'osservazione che era possibile creare gli arcobaleni anche artificialmente:

Innanzitutto, si prende in considerazione che questo arco può apparire non solo nel cielo ma anche nell'aria vicino a noi se ci sono in essa gocce d'acqua che sono illuminate dal sole, come l'esperienza ci mostra in alcune fontane.

Per meglio argomentare le sue idee, Cartesio immagina un esperimento con una fiasca sferica, in modo da mostrare che questo sistema poteva essere utilizzato per studiare il comportamento della luce che interagisce con le gocce d'acqua:

Bene, sapendo che queste gocce sono rotonde, come mostrato in precedenze, e osservando che l'essere più grandi o più piccole non cambia la forma dell'arco, allora ne ho immaginata una molto grande, abbastanza da esaminarla. E per questo proposito ho riempito d'acqua una grande fiasca perfettamente circolare e trasparente.

Alla fine il nostro arriva anche a una teoria sull'origine del colore, immaginandolo come generato dall'interazione di piccolissime sfere che urtano una contro l'altra.

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Una spiegazione corretta della formazione dell'arcobaleno la si può trovare in articolo del 1977 di Moyses Nussenzveig su Scientific American (pdf), mentre i passi citati di Cartesio sono estratti da un articolo di Albrecht Heeffer (pdf). Anche Kepler propose una spiegazione dell'arcobaleno, esaminata dacarl Boyer (pdf), mentre una storia completa della matematica dell'arcobaleno (sintetica ma completa) è di Bill Casselman.
Personalmente, invece, mi accontento di celebrare in questo modo abbastanza veloce il compleanno di un grande matematico come fu Cartesio.