Analogie spaziotemporali

Uno dei modelli per raccontare la teoria della relatività generale più utilizzati è quello del telo elastico con al centro una massa che lo deforma. Questo permette di mostrare come palline più piccole "orbitino" intorno alla palla più grande al centro in un modo simile ai pianeti, almeno fino a che l'attrito non ha ragione del moto circolare, rallentando le palline che quindi cadono dentro la "sacca gravitazionale".
In qualche modo questo modo "concreto" di vedere la relatività generale è diretta conseguenza del modo matematico "visuale" generato dai diagrammi di incorporamento e dai parabolodi di Flamm.
Questa analogia è, però, problematica non solo per il fatto di essere, come tutte le analogie, inesatta, ma anche perché potrebbe generare, soprattutto negli studenti, un po' di confusione su spazio e spaziotempo distorto. Ci si potrebbe cioé chiedere perché il foglio elastico viene distorto? A causa del peso della palla? Questo, però, implicherebbe l'uso di una argomentazione circolare: usare la gravità per spiegare la gravità. E se allora la palla non si trova nello spaziotempo, dov'è?⁽¹⁾
Pur osservando come queste domande, nelle pur poche attività che ho personalmente svolto con il telo elastico, non sono state rivolte, forse grazie all'accortezza di spiegare che ci si trovava di fronte a un'analogia che permetteva di vedere solo alcuni aspetti della gravità, può essere interessante esaminare un metodo alternativo per raccontare la deformazione dello spaziotempo.

Supponiamo di voler andare da Ottawa a Venezia in aereo. Questo, che si sposta relativamente vicino alla superficie del pianeta, compirà un arco di circonferenza per andare dalla cittadina canadese fino a quella italiana, invece di prendere la retta che collega direttamente le due città. Per vedere come, in presenza della gravità, proprio questa curva sia quella più indicata, si possono far mostrare tre distinti generi di curve relativistiche sul piano spazio-tempo.

In questo genere di diagrammi, la linea $a$ rappresenta una particella a riposo, la linea $b$ una particella che si muove a velocità costante e la curva $c$ rappresenta una particella che si muove di moto accelerato. Dunque l'arco di circonferenza tra Ottawa e Venezia è la curva di un moto accelerato con accelerazione pari a $g$, nel caso della Terra⁽¹⁾.
Un interessante approfondimento sulle deformazioni spaziotemporali è Deviation of Light near the Sun in General Relativity di Christian Magnan: poiché la versione su lacosmo.com non è al momento disponibile, vi segnalo quella su archive.org, che però ha l'inconveniente di non mostrare equazioni e immagini.

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1. Janis, A. I. (2018). On mass, spacetime curvature, and gravity. The Physics Teacher, 56(1), 12-13. doi:10.1119/1.5018679 (4shared) ↩↩