I rompicapi di Alice: Il movimento secondo Leonardo

I Codici di Madrid I e II sono due raccolte di manoscritti di Leonardo da Vinci ritrovati in una collezione all'interno della Libreria Nazionale di Madrid sul finire degli anni Sessanta del XX secolo. In particolare il Codice di Madrid I è costituito da 382 pagine di note accompagnate da qualcosa come 1600 tra schizzi e disegni e affronta un problema per il quale Leonardo è in qualche modo particolarmente noto come ingegnere e progettatore: quello degli ingranaggi.
Il punto di partenza di Leonardo, però, è lo studio dell'attrito. Questo è una forza che si oppone al moto, ma proprio grazie alla sua opposizione è possibile, per noi, camminare senza scivolare o perdere l'equilibrio. Come ben sappiamo oggi, però, l'intensità della forza d'attrito dipende dalle superfici che sono a contatto tra loro, da quanto sono liscie o ruvide, che è indipendente dall'area a contatto e che può essere ridotto utilizzando ad esempio un lubrificante o dei cilindri. Tutto questo, però, era già noto a Leonardo, come è possibile osservare dalla lettura del Codice di Madrid I. Inoltre è sempre Leonardo a introdurre il concetto di coefficiente d'attrito, definendolo come il rapporto tra la forza richiesta per far scivolare due superfici orizzontali una sull'altra e la pressione tra le due superfici. Leonardo stimò anche il valore di tale coefficiente d'attrito in $1/4$, coerente con i materiali più noti al fiorentino e con i quali poteva compiere degli esperimenti (legno su legno, bronzo su acciaio, ecc.)⁽¹⁾.
A questo punto Leonardo è pronto per sviluppare una serie di ingranaggi in grado di trasportare energia meccanica e produrre moto, riducendo al minimo l'attrito con l'utilizzo di sfere e cilindri, come ben si vede dai suoi numerosi disegni. In particolare, però, è l'utilizzo meccanico da parte di Leonardo di due particolari forme geometriche a colpire, perché anticipa di secoli la loro adozione effettiva: i denti epicloidali e l'ingranaggio globoidale.

Denti ed epicicli

L'epicicloide è una particolare curva piana generata facendo rotolare una curva su un'altra. In particolare l'epicicloide è definita dalle posizioni che assume un punto posto su una circonferenza che viene fatta rotolare all'esterno di un'altra.
Il primo a trattare questo genere di curve fu il matematico greco Ipparco all'interno del suo modello per il moto lunare. Successivamente fu l'astronomo greco Tolomeo a utilizzare le epicicliodi per correggere gli errori matematici del modello geocentrico rispetto ai moti osservati dei corpi celesti. Il primo a descrivere come costruire un'epicicloide fu, però, l'artista tedesco Albrecht Durer nel 1525 nel primo dei quattro volumi della sua opera geometrica Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt or Instructions for Measuring with Compass and Ruler, mentre nel 1640⁽²⁾ fu l'ingegnere francese Girard Desargues a utilizzare l'epicicloide all'interno del sistema idrico parigino. L'applicazione dell'epiciclioide agli ingranaggi viene accreditata all'astronomo danese Olaus Roemer, anche se forse solo in termini teorici⁽²⁾, mentre la prima applicazione pratica sembra risalire al 1694 dovuta a Philippe de La Hire⁽¹⁾. Il confronto tra i disegni di Leonardo (a sinistra nell'immagine sotto) e quelli di de La Hire (a destra) mostra le capacità di Leonardo di riuscire a trovare soluzioni ottimali ai problemi meccanici (come quello di trovare la forma più adatta per minimizzare gli effetti dell'attrito) in una maniera abbastanza intuitiva⁽¹⁾.

Gira, la rotella gira

Le curve globoidali sono le linee esterne alla superficie generata dalla rotazione di una circonferenza attorno a una retta posta su un piano differente da quello della circonferenza stessa. Molto simili alle epicicloidi, le globoidi, così chiamate dall'ingegnere Franz Reuleaux nel 1876, vennero utilizzate intorno al 1740 dall'orologiaio Henry Hindley per costruire gli ingranaggi globoidali, ovviamente senza sapere che qualcosa del genere era già stato progettato da Leonardo da Vinci all'incirca 250 anni prima⁽¹⁾!

Ovviamente sono altrettanto stupefacenti tutti gli altri progetti di Leonardo contenuti nel Codice di Madrid I, anche se forse il disegno più stupefacente di tutti è quello del vaso sanitario con sciacquone, almeno stando all'interpretazione fornita da Augusto Macaroni, che ha osservato come tale progetto si trovasse nella sezione dedicata ai dispositivi idraulici⁽³⁾.

Ricordo, infine, che nel Codice di Madrid è anche contenuto il progetto di una macchina del moto perpetuo (poi anche costruita), che Leonardo progettò per mostrare come il moto perpetuo fosse impossibile.

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1. Reti, L. (1971). Leonardo on bearings and gears. Scientific American, 224(2), 100-111. doi:10.1038/scientificamerican0271-100 (jstor | pdf dell'edizione in italiano) ↩↩↩↩
2. The epicycloid by Dennis & Emily Astley ↩↩
3. Gardner, M. (1975). Mathematical Games: The curious magic of anamorphic art. Scientific American, 232(4), 126-133. doi:10.1038/scientificamerican0475-126 (jstor) ↩