Alcuni giorni fa un ricercatore del Dipartimento di Fisica dell'Università di Tokyo, T. Matsui, ha caricato su arXiv un preprint dal titolo eloquente: Deciphering the measured ratiosofIodine-131 to Cesium-137 at the Fukushima reactors.Matsui, infatti, cerca di capire meglio la situazione della centrale gestita dalla TEPCO usando un po' di calcolini teorici e confrontandoli con i dati ufficiali dell'azienda energetica nipponica. Possiamo, quindi, considerarlo il primo studio fatto sui pochi dati a disposizione.
La base teorica del lavoro è la formula sul decadimento radiativo: \[N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\] dove $N_0$ è il numero di nuclei al tempo $t_0$ (all'inizio), $\lambda$ è il tasso di decadimento (l'inverso del tempo di vita media $\tau$), $N (t)$ il numero di nuclei al tempo $t$.
Per calcolare l'equazione si parte dalla legge sperimentale \[\frac{\text d N (t)}{\text d t} = - N(t) \lambda\] Allo stesso modo, Matsui per i suoi calcoli è partito da un'equazione differenziale simile \[\frac{\text d N_I (t)}{\text d t} = f_I N_0 \theta (t;t_i, t_f) - \lambda_I N_I\] dove $\theta (t;t_i, t_f) = 1$ per $t_i < t < t_f$ e $\theta (t;t_i, t_f) = 0$ in tutti gli altri casi, $N_0$ è il numero delle fissioni nell'unita di tempo, $f_I$ è la frazione di I-131 prodotta in ogni fissione, $\lambda_I$ il tasso di decadimento dell'I-131. Condizioni al contorno sono: il reattore nucleare in funzione dal tempo $t_i$ a $t_f$; $N_I (t_i) = 0$.
Dopo aver integrato, e utilizzando la condizione $\lambda_I (t_f - t_i) \gg 1$ (che vuol direche il tempo di lavoro del reattore è più lungo del tempo di vita media dell'I-131, che èdi 8 giorni circa), Matsui trova: \[N_I (t) \simeq \frac{f_I N_0}{\lambda_I} e^{-\lambda_I (t-t_f)}\] Calcoli simili anche per il Cs-137: \[N_{Cs} (t) \simeq f_{Cs} N_0 \Delta t e^{\lambda_{Cs} (t-t_f)}\] dove $\Delta t = t_f - t_i$ e, poiché $\tau_{Cs}$ è di circa 30 anni, il risultato è stato ottenuto con la seguente approssimazione: $\lambda_{Cs} (t_f - t_i) \ll 1$ (che vuol dire che il reattore ha lavorato per un tempo di molto inferiore al tempo di vita media del Cs-137).