Matematica, lezione 15: Catastrofi e caos

A dispetto del titolo, che suggerisce la presenza anche della teoria delle catastrofi, il volume di Luigi Amedeo Bianchi è di fatto centrato quasi esclusivamente sulla teoria del caso, lasciando un piccolo accenno alla teoria delle catastrofi (a ta proposito vi rimando a un articolo che scrissi quasi dieci anni fa). Una parte, in effetti poco nota, della teoria del caos, ovvero la parte relativa alle biforcazioni, è essa stessa introduzione alla teoria delle catastrofi per cui solo ciò giustifica in parte il titolo del volumetto.
Ad ogni modo il libro, per quanto ostico, non utilizza concetti completamente nuovi al lettore della collana, e in ogni caso Bianchi si prende lo spazio per introdurre quei concetti un po' più avanzati necessari alla comprensione del testo insieme con quelli più "basilari" come per esempio potenze, polinomi, derivate che erano stati già affrontati in altri volumi. La definizione più importante e corposa, però, è quella di modello matematico, in particolare quello relativo ai sistemi dinamici, ovvero sistemi che, nella realtà di tutti i giorni, evolvono col passare del tempo.
Devo dire che il testo si è lasciato seguire abbastanza agevolmente, fornendo alla fine una versione più approfondita, ma anche molto chiara, della teoria del caos rispetto a quella divulgativa necessariamente più sintetica.
A completare il tutto i soliti giochi matematici di Maurizio Codogno, questa volta dedicati al concetto della media, e, soprattutto, una delle biografie per me più attese, quella di Evariste Galois: Sara Zucchini è riuscita splendidamente a rendere omaggio al matematico romantico per eccellenza.

Piani catastrofici

Supponiamo di doverci confrontare con un animale, ad esempio un cane o un lupo (o più in generale con un animale, addomesticato o selvaggio). Secondo Konrad Lorenz il comportamento aggressivo di un cane viene influenzato da due stati d'animo differenti: l'ira e la paura.
Si può allora provare a prevedere il comportamento del cane in funzione di quale dei due stati domina: nel caso in cui l'animale è dominato da paura o da ira, proporre una previsione è abbastanza semplice; nel caso in cui il cane sia contemporaneamente dominato da ira e paura, la previsione diventa molto più difficoltosa. Mentre, infatti, un modello semplice prevederebbe la neutralizzazione dei due impulsi, in un modello più complesso il comportamento neutrale dell'animale sarebbe in realtà il meno probabile.
Un modo utile e molto più corretto di esaminare il comportamento del cane è il modello topologico proposto da René Thom nel 1972 su Stabilité structurelle et morphogénèse. Il lavoro di Thom prende le mosse dalla morfogenesi di Turing: come ha osservato Jean Petitot⁽²⁾ entrambi i modelli partono da reazioni interne che vengono accoppiate a stimoli esterni. Mentre in Turing l'accoppiamento è dato dalla diffusione dei morfogeni reagenti, Thom generalizza questo accoppiamento dovuto alle dinamiche interne e alle discontinuità morfogenetiche. Nel modello di Thom sono infatti presenti le così dette biforcazioni, e proprio lo stato di paura e ira è una di quelle biforcazioni.
Un modo per comprendere come funziona il modello di Thom è visualizzarlo: su un piano si rappresentano la paura e l'ira dell'animale, mentre sull'asse perpendicolare al piano si rappresenta il suo comportamento. Il modello di Thom produce una particolare superficie curva (la più semplice all'interno del modello delle catastrofi) che ben rappresenta la situazione di crisi in cui si trova l'animale, che potrebbe cadere nella fuga o reagire in un attacco.