I rompicapi di Alice: I cubi di Langford

In realtà l'articolo volevo scriverlo per ieri, ma alla fine, vinto dalla stanchezza e non dallo sconforto di questo periodo, ho optato per pubblicarlo oggi.

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Il figlio del matematico scozzese Dudley Langford stava giocando con alcuni cubi colorati. A un certo punto il bambino si trovò con una combinazione particolare di sei cubi costituita da due di colore giallo, due di colore blu e due di colore rosso. La combinazione era quella qui sotto:

Dopo averci pensato su un po', Langford giunse alla conclusione che quella era l'unica disposizione di quei cubi con quella particolare proprietà. Se non la riuscite a vedere, sostituiamo ai cubi le carte. In questo caso ho utilizzato le carte napoletane disegnate da Blasco Pisapia per Topolino:

Come vedete la disposizione prevede che tra i due assi (valore 1) sia compresa una carta. Le due carte con il 2 sono separate da due carte. E infine i 3 sono separati da tre carte. L'unica altra disposizione con questa proprietà è quella speculare. Langford ha fatto anche di più: ha dimostrato che con 4 cubi (o coppie di numeri) esiste una disposizione con le medesime proprietà (oltre che la sua speculare). Questo risultato sa tanto di primo passo verso una generalizzazione.
In effetti più che una generalizzazione si può parlare del così detto problema di Langford (o degli accoppiamenti di Langford), ovvero se esistono disposizioni simili a quelle di cui sopra per un numero di coppie arbitrario.
Il problema venne proposto da Langford nel 1958 nella pagina dei problemi della Mathematical Gazette e già l'anno dopo Roy Davies dimostrò che esistevano soluzioni al problema di Langford se e solo se \(n \equiv 0, 3 (\mod 4)\).
Per ciascun \(n\) è possibile calcolare il numero di soluzioni al problema di Langford (ovvero di disposizioni per ciascun numero di coppie di cubi distinti), ottenendo che non ci sono soluzioni per 1, 2, 5 e 6 coppie, mentre per 7 coppie esistono ben 26 soluzioni! Ovviamente esiste una sequenza che trovate su The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
Per quel che mi riguarda, non mi resta che invitarvi a scoprire la soluzione per 4 coppie, magari usando, come ho fatto io, le carte corrispondenti, napoletane o francesi a vostro gusto!

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Cubi colorati realizzati con pixilart.com