Le grandi domande della vita: Spaziotempo

Cogliendo l'occasione dell'uscita della mia nuova astrografica dedicata allo spaziotempo, e peraltro basata proprio su un post qui su DropSea, ripesco la versione de Le grandi domande della vita in cui ripropongo le risposte che ho fornito per la rubrica de L'astronomo risponde.

Muoversi nello spaziotempo

Probabilmente la domanda era da uno studente bloccato in qualche conto. O magari c'ha pensato di sua sponte. Non lo sapremo mai. In ogni caso è legata alle velocità relative relativistiche. Vi metto qui sotto la domanda (più o meno) integrale prima della mia risposta:

un osservatore A vede due corpi B e C che si muovono in direzione opposta e misura la velocità di ciascuno pari a 2/3 c quindi:
1) A vede B e C allontanarsi reciprocamente ad una velocità di 4/3 c?
2) A quale velocità B vede allontanarsi C? Oppure non lo vede proprio?

La risposta risiede nelle trasformazioni di Lorentz. Queste trasformazioni sono un sistema di quattro equazioni che legano le coordinate spaziotemporali di un punto misurato in un sistema in movimento rispetto a un sistema fermo. Da questo sistema è possibile ricavare le equazioni di trasformazione della velocità. In questo caso, poiché il moto si svolge lungo un'unica direzione, che per comodità chiameremo \(x\), utilizzeremo solo l'equazione lungo questa direzione, poiché nelle altre direzioni la velocità è nulla: \[u'_x = \frac{v_B - v_C}{1 - \frac{v_B \cdot v_C}{c^2}}\] dove \(u'_x\) è la velocità relativa tra B e C, \(c\) la velocità della luce, e \(v_B = 2/3 \, c\) e \(v_C = -2/3 \, c\).
Facendo un paio di calcoli, si scopre che la velocità relativa \(u'_x\), ovvero la velocità con cui B vede C allontanarsi da se stesso, oltre che la velocità con cui C vede allontanarsi B da se stesso, è pari a \(12/13 \, c\).
A, invece, che ha misurato le due velocità di allontanamento di B e C, ovviamente continuerà a vedere B e C allontanarsi da se stesso alle velocità che ha misurato e, facendo i calcoli che abbiamo presentato qui sopra, può determinare la velocità relativa tra i due corpi.

Viaggiare alla velocità della luce

Questa è la tipica domanda che prima o poi capita sui viaggi alla velocità della luce e sul paradosso dei gemelli (anche se non è nominato esplicitamente.
Supponiamo di dirigerci verso Proxima Centauri, una nana rossa a circa 4.2 anni luce dalla Terra nella zona di cielo occupata dalla costellazione del Centauro. Intorno a questa stella si trova un pianeta extrasolare, Proxima Centauri b, la cui scoperta è stata annunciata dall'ESO nel 2016 e che si trova nella zona abitabile della stella. Per raggiungerla, viaggiando alla velocità della luce, \(c\), ovvero 300000 km/s, impiegheremmo all'incirca 4 anni, 2 mesi e un paio di settimane.
Mentre viaggiamo verso Proxima Centauri il tempo sulla Terra trascorre in maniera differente rispetto a noi che siamo nell'astronave, come spiegava molto bene Carl Sagan nel libro Intelligent life in the universe. Per capire questa differenza di tempo ci viene in aiuto la relatività speciale di Albert Einstein. Uno dei risultati di tale teoria è che per un corpo in movimento il tempo si dilata, in sostanza si invecchia di meno rispetto a chi rimane fermo.
Per avere un'idea di tale differenza, supponiamo che la nostra astronave viaggi a una frazione della velocità della luce, diciamo \(0.8 c\). Questo vuol dire che, per i nostri amici rimasti sulla Terra, la durata del nostro viaggio sarebbe all'incirca di 10 anni, 5 per l'andata e 5 per il ritorno. Per noi che restiamo sull'astronave, invece, il viaggio durerebbe all'incirca 6 anni, 3 per l'andata e 3 per il ritorno. Questa differenza è dovuta al rapporto tra il tempo proprio dell'astronauta, \(t_{astronauta}\), e il tempo misurato sulla Terra, \(t_{Terra}\), che alla velocità di \(0.8 c\) è \(t_{astronauta}/t_{Terra} = 0.6\).
La differenza reale tra i due tempi, però, sarebbe molto inferiore rispetto ai 4 anni calcolati con la sola relatività speciale, poiché si dovrebbero tenere conto anche degli effetti dovuti alle fasi di accelerazione e decelerazione dell'astronave.
Per l'esempio qui sopra, però, abbiamo considerato una velocità, per quanto altissima, ma comunque inferiore a quella della luce. Questo perché le leggi della relatività speciale rendono impossibile raggiungere tale velocità. Un'altra delle caratteristiche fondamentali della teoria di Einstein è che la massa non è più una proprietà assoluta di un corpo, ma è mutuamente convertibile con l'energia. La famosa formula \(E=mc^2\) implica che se a un corpo che si muove a velocità prossime a quella della luce si fornisce energia, la sua velocità aumenterà molto poco, mentre a subire un effettivo incremento sarà la sua massa, tanto da raggiungere valori infiniti per velocità pari a \(c\). Tale comportamento è stato verificato più volte sia negli esperimenti di fisica delle particelle, in particolare quelli condotti nei grandi acceleratori di particelle come l'LHC al CERN di Ginevra, sia durante le esplosioni delle bombe nucleari.
Ad ogni modo, il limite imposto dalla natura alla velocità massima raggiungibile nell'universo non vuol dire che non sarà possibile coprire le distanze cosmiche che ci separano da Proxima Centauri o da altre stelle distanti dotate di sistemi planetari, ma l'impresa tecnologica risulta ancora molto complicata e molto lontana nel tempo da raggiungere. Per ora possiamo solo accontentarci di film e romanzi di fantascienza.