Un paio di (nuove) cose tecniche sull'equazione di Schrodinger

Era da un po' che non mi facevo un giro tra i lidi elettronici del Journal of Mathematical Physics. E sull'ultimo numero ho trovato un paio di articoli dedicati all'equazione di Schrodinger, che qui metto un po' come cose interessanti da approfondire in futuro, un po' come spunto per quei quattro gatti che ogni tanto provano a interessarsi a queste faccenduole elettroniche:

• Cheng, Y., & Shen, Y. (2024). On a class of quasilinear Schrödinger equations with superlinear terms. Journal of Mathematical Physics, 65(5). doi:10.1063/5.0158981

In this paper, we consider a class of quasilinear Schrödinger equations arising from a model of a self-trapped electrons in quadratic or hexagonal lattices. By variational methods, we prove that this problem admits a positive solution for any positive parameter.

• Gölgeleyen, F., Gölgeleyen, İ., & Yamamoto, M. (2024). An inverse source problem for the Schrödinger equation with variable coefficients by data on flat subboundary. Journal of Mathematical Physics, 65(5). doi:10.1063/5.0087112

We consider an inverse source problem for the Schrödinger equation with variable coefficients. We prove the uniqueness of solution of the problem by data on a flat subboundary over time interval, under a certain condition of the coefficients of the principal terms. We first reduce the inverse problem to a Cauchy problem for a system of integro-differential equations by using Fourier transform. Next, we establish a pointwise Carleman type inequality which is the key tool in the proof of our main result.

In questo caso spendo un paio di parole sulla diseguaglianza di Carleman, dimostrata nel 1923 dal matematico svedese Torsten Carleman. Data una sequenza di numeri reali non negativi \((a_1, a_2, \dots, a_n)\), vale la seguen te disuguaglianza: \[\sum_{n=1}^\infty \left(a_1 a_2 \cdots a_n\right)^{1/n} \le e \sum_{n=1}^\infty a_n\] dove \(e\) è il numero di Nepero, o di Eulero come si dice nel resto del mondo. La dimostrazione coinvolge un'altro paio di relazioni legate al fattoriale, per cui non mi perdo troppo nella faccenda, però chiuderei con una curiosità: la disuguaglianza potrebbe essere valida anche per numeri inferiori a \(e\), ma non troppo più piccoli.

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