Paralipomeni di Alice: I poliedri di Leonardo

Leonardo da Vinci è uno degli italiani più noti di tutti i tempi. Aveva molti interessi, dall'architettura, alla pittura, all'ingegneria, alla matematica e altro ancora. In particolare nel campo della matematica, come abbiamo visto in altra occasione, probabilmente ha inserito un bel po' di matematica all'interno del suo uomo vitruviano. Però ha anche realizzato una serie di disegni geometrici per uno dei trattati più famosi dell'antichità, il De divina ratio del 1509 di Luca Pacioli, in particolare una serie di poliedri regolari, in particolare dei solidi platonici (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro).

La definizione formale dei solidi platonici è poliedri convessi regolari le cui facce sono costituite da poligoni regolari congruenti, ovvero esattamente sovrapponibili, e con tutti gli spigoli e i vertici equivalenti. Questo vuol dire che gli angoli solidi ai vertici sono tutti uguali. Ne consegue che anche i suoi angoloidi hanno la stessa ampiezza.
Di poliedri regolari così fatti ne esistono solo cinque, non di più, come dimostrato da Euclide nei suoi Elementi. I motivi sono essenzialmente quattro.
Innanzitutto in ogni vertice devono convergere almeno tre facce. Inoltre, per evitare che l'angoloide formato risulti piatto, la somma degli angoli che convergono nei vertici deve essere minore di 360°. Questo vuol dire che gli angoli al vertice devono essere al massimo pari a 120° = 360°/3. Questo vuol dire che gli unici poligoni che possono formare dei solidi platonici sono triangolo, quadrato e pentagono. Il che porta ai cinque solidi regolari di cui sopra. E nulla di più.

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Altri dei solidi platonici disegnati da Leonardo li potete trovare su Life Through A Mathematician's Eyes e su Leonardo da Vinci's Polyhedra.

Carnevale della Chimica #29

Provate a pensare a un rompicapo di questo genere: avete due bicchieri, uno riempito con 50 cucchiai di brandy e un altro con 50 cucchiai di acqua. A questo punto si prende un cucchiaio di brandy dal primo bicchiere e lo si versa all'interno del secondo. Si mescola e quindi si prende un cucchiaio da questa seconda mistura e lo si versa nel bicchiere di brandy. Fatto questo, provate a rispondere alla domanda: è maggiore la quantità di brandy trasferita dal primo bicchiere al secondo o la quantità di acqua trasferita dal secondo bicchiere al primo?
Rispondere correttamente può fornirvi, per esempio, un'utile chiave per comprendere un concetto di base per la chimica come la concentrazione, ma fate attenzione: un modo corretto per giungere alla risposta passa per la matematica!
La matematica, però, può essere utilizzata nella chimica anche in modi differenti, ad esempio utilizzando il concetto di simmetria: si possono infatti classificare i cristalli attraverso le loro simmetrie, siano esse assiali o puntuali. Oppure si potrebbe utilizzare il DNA per costruire dei solidi platonici: è molto interessante, infatti, notare come nella nanocostruzione di alcune particolari strutture chimiche, le molecole sembrano mostrare una maggiore stabilità quando si utilizzano come intelaiature proprio i solidi platonici:

Da Bhatia D., Mehtab S., Krishnan R., Indi S., Basu A. & Krishnan Y. (2009). Icosahedral DNA Nanocapsules by Modular Assembly, Angewandte Chemie International Edition, 48 (23) 4134-4137. DOI: 10.1002/anie.200806000 (pdf)

Inoltre i solidi platonici permettono il massimo volume di incapsulamento.
La tecnica in cui questo tipo di struttura viene utilizzata è l'assemblaggio modulare. Uno dei vantaggi della tecnica è che:

capsule chiuse stechiometricamente ben definite possono essere costruite con resa elevata anche ad alte concentrazioni come conseguenza della formazione di moduli intermedi precostituiti, oltre che un aumento della cooperazione associata con un ordine di assemblaggio progressivamente più elevato.

L'assemblaggio modulare può essere utilizzato anche per migliorare l'assemblaggio virale, poiché permette la costruzione di icosaedri sempre più complessi, e questo, aggiungo io, con un miglioramento nello studio dei virus e delle loro cure.
D'altra parte si può anche giocare con i solidi platonici e osservare che, probabilmente grazie alla loro capacità di essere associati con la spirale di Fibonacci, questi possono essere messi in una relazione visiva evidente con la struttura a doppia elica del DNA, struttura che, d'altra parte, può essere riprodotta utilizzando proprio la spirale di Fibonacci!