Matematica, lezione 6: La geometria piana

Dopo averci girato un po' intorno arriva il momento de La geometria piana con il sesto volume della collana Matematica de La Gazzetta dello Sport s firma di Rocco Dedda. E devo dire che siamo di fronte al volume migliore per curatela (due refusi), ma anche per stile proposto. Il libro, infatti, ha un'impostazione più divulgativa dei precedenti, con qualche definizione e nessun teorema o dimostrazione, non perché siano assenti (a parte i classici esercizi a fine libro), ma perché sono così ben integrati nel testo che non è necessario metterli in evidenza con elementi grafici o testuali particolare, come avvenuto nei primi cinque volumi.
Indubbiamente la possibilità diverse immagini, sicuramente più di altri volumi precedenti, è un vantaggio, ma riesce anche a ritornare su alcuni concetti già incontrati nel corso della collana e a raccontarli in maniera a mio avviso migliore, come per esempio la distinzione tra ipotesi, ovvero ciò che è già stato stabilito (le proprietà da cui si parte, che non vanno dimostrate), e tesi, ovvero ciò che va dimostrato. Anche la differernza tra postulati e assiomi (indubbiamente più sottile rispetto a quella tra ipotesi e tesi) viene ben definita e in particolare sono proprio i postulati e gli assiomi di Euclide a essere il punto di partenza della breve trattazione. E' interessante come Dedda proponga una formulazione introduttiva euclidea e, in seguito, una formulazione più moderna, sostanzialmente quella introdotta da David Hilbert.

Paralipomeni di Alice: I poliedri di Leonardo

Leonardo da Vinci è uno degli italiani più noti di tutti i tempi. Aveva molti interessi, dall'architettura, alla pittura, all'ingegneria, alla matematica e altro ancora. In particolare nel campo della matematica, come abbiamo visto in altra occasione, probabilmente ha inserito un bel po' di matematica all'interno del suo uomo vitruviano. Però ha anche realizzato una serie di disegni geometrici per uno dei trattati più famosi dell'antichità, il De divina ratio del 1509 di Luca Pacioli, in particolare una serie di poliedri regolari, in particolare dei solidi platonici (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro).

La definizione formale dei solidi platonici è poliedri convessi regolari le cui facce sono costituite da poligoni regolari congruenti, ovvero esattamente sovrapponibili, e con tutti gli spigoli e i vertici equivalenti. Questo vuol dire che gli angoli solidi ai vertici sono tutti uguali. Ne consegue che anche i suoi angoloidi hanno la stessa ampiezza.
Di poliedri regolari così fatti ne esistono solo cinque, non di più, come dimostrato da Euclide nei suoi Elementi. I motivi sono essenzialmente quattro.
Innanzitutto in ogni vertice devono convergere almeno tre facce. Inoltre, per evitare che l'angoloide formato risulti piatto, la somma degli angoli che convergono nei vertici deve essere minore di 360°. Questo vuol dire che gli angoli al vertice devono essere al massimo pari a 120° = 360°/3. Questo vuol dire che gli unici poligoni che possono formare dei solidi platonici sono triangolo, quadrato e pentagono. Il che porta ai cinque solidi regolari di cui sopra. E nulla di più.

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Altri dei solidi platonici disegnati da Leonardo li potete trovare su Life Through A Mathematician's Eyes e su Leonardo da Vinci's Polyhedra.