La particolarità di questa equazione è che il modo di una particella può essere rappresentato come un'onda. E non a caso ci sono dei legami tra tale equazione e l'equazione più famosa della meccanica quantistica, l'equazione di Schrodinger. Non a caso in testi fondamentali come Classical Mechanics di Herbert Goldstein e Modern Quantum Mechanics di Jun John Sakurai, tale formalizzazione classica della meccanica viene considerata come la più vicina alla meccanica quantistica.
Date queste premesse il risultato ottenuto da Winfried Lohmiller e Jean-Jacques Slotine del MIT non dovrebbe essere così stupefacente come appare. In poche parole i due fisici teorici sono riusciti, tra le altre cose, a risolvere esattamente l'equazione di Schrodinger utilizzando la meccanica classica! Il tutto utilizzando proprio l'equazione di Hamilton-Jacobi.
Un altro importante ingrediente nato nella meccanica classica utilizzato da Lohmiller e Slotine è l'azione. Questa è una particolare grandezza fisica, definita per la prima volta nel 1746 da Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, che permette di descrivere lo stato e l'evoluzione di un sistema fisico, descrivendone quindi il moto. Matematicamente è definita come l'integrale dell'energia cinetica calcolato tra due dati istanti temporali.
Riprendendo la definizione geometrica dell'integrale, se tracciamo su un grafico con il tempo sull'asse delle x e l'energia sull'asse delle y come varia nel tempo l'energia cinetica di un sistema fisico, l'azione corrisponderà all'area sotto la curva.
Nell'ottica dell'azione, assume poi una particolare rilevanza il principio di minima azione. Il nome italiano si porta dietro l'idea iniziale di Maupertuis, ovvero la minimizzazione dell'azione. In parole più semplici la traiettoria fisicamente più breve tra due punti non è il percorso più breve, ma quello che rende l'azione minima (in ottica hamiltoniana l'enfasi viene rivolta sulla stazionarietà dell'azione, ma nella pratica non cambia nulla).
Il principio di minima azione, però, è in effetti abbastanza universale e può essere applicato anche alla meccanica quantistica. L'unico problema, come mostrato dai diagrammi di Feynman, è che per calcolare la probabilità di transizione tra due stati quantistici, bisogna utilizzare un numero infinito di percorsi quantistici (i cammini di Feynman) che collegano i due stati, ognuno con una probabilità differente.
Sembrava, quindi, impossibile estendere il principio di minima azione anche alla meccanica quantistica. E invece Lohmiller e Slotine ci sono riusciti: dopo aver definito una azione a più valori, riescono a ridurre gli infiniti cammini di Feynman a un insieme discreto di percorsi deterministici di minima azione. Pesati ognuno a partire dalla loro corrispondente densità, vengono combinati ottenendo come risultato matematicamente esatto i risultati dell'equazione di Schrodinger.
Il procedimento, però, non è stato applicato solo a questa famosa equazione, ma anche ad altri problemi quantistici come l'esperimento della doppia fenditura, l'effetto tunnel quantistico, la particella in una scatola e l'atomo di idrogeno, tutti risolti in maniera esatta.
Il risultato è particolarmente interessante sotto diversi aspetti. Innanzitutto mostra come la meccanica quantistica e quella classica sono molto più vicine di quel che si pensava prima. Inoltre fornisce una serie di strumenti matematici decisamente più semplici, essendo legati alla fisica classica, per risolvere sistemi quantistici particolarmente complessi (in quest'ottica potrebbe quindi essere molto utile in applicazioni pratiche come l'informatica quantistica). Senza dimenticare, poi, le ricadute sulla relatività speciale e generale.
Lohmiller e Slotine hanno infatti applicato il loro approccio anche a equazioni relativistiche come quella di Klein-Gordon e quella di Dirac, ottenendo, ancora una volta, risultati esatti. Ciò indicherebbe una strada interessante da percorrere verso la formulazione di una descrizione unificata del microcosmo e del macrocosmo (volgarmente detta come unificazione tra relatività e quantistica).
Come si suol dire: se son rose, fioriranno!
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