I rompicapi di Alice: C'è posto sull'ascensore?

Gli ascensori sono stati uno dei primi elementi di discordia ne Il condominio di JG Ballard. In una lettura un po' più ottimistica per come sono andate le cose nel romanzo, si potrebbe dire che se i componenti del condominio fossero stati più addentro alla cultura matematica, probabilmente le cose sarebbero andate diversamente, perché magari sarebbe stato loro noto il famoso paradosso dell'ascensore.

Su e giù dai piani

Progetto di un ascensore di Konrad Kyeser
del 1405 - via commons

Il paradosso venne per la prima volta formulato nel 1958 da George Gamow e Marvin Stern nel loro libro di matematica ricreativa Puzzle-Math. I due lavoravano nello stesso edificio, ma su due piani diversi: Gamow al secondo piano di un palazzo di sette e Stern al sesto piano. Visto che i due collaboravano, a volte uno prendeva l'ascensore per andare nell'ufficio dell'altro. Così quando Gamow andava da Stern, notava che 5 volte su 6 l'ascensore che si fermava al suo piano proveniva dai piani alti, mentre l'ascensore che si fermava al piano di Stern l'ascensore all'incirca 5 volte su 6 proveniva dai piani bassi⁽²⁾.
Il problema venne successivamente ripreso da Donald Knuth prima nel 1969 nell'articolo The Gamow-Stern elevator problem uscito sul Journal of Recreational Mathematics. Il primo passo è abbastanza banale, ed è spiegato anche nel libro di Gamow e Stern: nel caso di un palazzo con un ascensore, la probabilità che l'ascensore si trovi sopra o allo stesso piano di Gamow è 5/6, mentre la probabilità che si trovi sotto è 1/6. Allo stesso modo per Stern la probabilità che l'ascensore si trovi sotto o al suo stesso piano è 5/6, mentre la probabilità che si trovi al di sopra è 1/6. E' qui, però, che Gamow e Stern commettono un errore, almeno secondo l'analisi compiuta successivamente da Knuth: le probabilità restano le stesse anche se aumentiamo il numero di ascensori⁽²⁾.