I rompicapi di Alice: Di arance e salsicciotti

Era il 1611 quando Johannes Kepler si chiese quale era il modo migliore per ringraziare a costo zero (o il più basso pèossibile) il suo munifico mecenate, Johannes Matthaus Wacker von Wackenfels. Decise di scrivere un libro e dedicarglielo: Il fiocco di neve esagonale.
Kepler partiva dall'osservazione che i fiocchi di neve formavano cristalli di simmetria esagonale⁽¹⁾. La domanda aleggia già nell'aria: perché questa simmetria?
La risposta dell'astronomo e matematico era molto semplice: la simmetria esagonale è il modo più efficiente di accostare cerchi in un piano⁽¹⁾.
Ovviamente Kepler non si limitò solo ai cerchi nel piano, ma si chiese se anche con le sfere esisteva una qualche regola analoga. Di fatto per impilare oggetti di forma sferica, come le palle di un cannone o le arance, si possono in principio utilizzare tre impacchettamenti regolari: esagonale, cubico e cubico a facce centrate.
Il primo lo si ottiene impilando uno sull'altro strati di sfere a loro volta impacchettate con simmetria esagonale. In questo caso i centri delle sfere si ritrovano esattamente uno sull'altro. L'impacchettamento cubico è analogo a quello esagonale, con la differenza che ogni strato è impacchettato con la simmetria di un quadrato. E i centri sono sempre allineati uno sull'altro.
L'impacchettamento cubico a facce centrate è, invece, quello che applicano normalmente i fruttivendoli quando impilano le arance: ogni strato ha simmetria esagonale, ma lo strato superiore è incastrato nello strato inferiore facendo combaciare i centri delle sfere superiori con i vuoti dello strato inferiore⁽¹⁾.
Anche in questo caso Kepler arriva alla conclusione che l'impacchettamento cubico e facce centrate è il più efficiente possibile. E entrambe le affermazioni di Kepler vennero dimostrate solo nel XX secolo.

La congettura della salsiccia

Prima di esaminare la prima dimostrazione, andiamo a esaminare un problema in qualche modo connesso con quello di impacchettamento di Kepler. Supponiamo di avere un certo numero di cerchi e di volerli circondare con la curva più breve possibile. Con sette cerchi la disposizione più ovvia sarà metterli uno attaccato all'altro e quindi disegnare una curva che li circonda, come la sezione di una salsiccia:

Supponendo per semplicità raggio 1 per ciascun cerchio, l'area racchiusa da questa curva risulta 27.141. Per ottimizzare la disposizione, però, possiamo disporre i cerchi con simmetria esagonale. In questo caso la curva che avviluppa i sette cerchi occuperà un'area inferiore, pari a 25.533:

Se però prendiamo sette sfere e le si avviluppa con la superficie che occupa il volume più piccolo possibile, la soluzione è quella di realizzare un vero e proprio salsicciotto. E questa forma risulta la più efficiente fino a un massimo di 56 sfere. Con 57 sfere la forma diventa leggermente più bombata.
Visto che i matematici, trovato un problema, tendono a generalizzarlo, anche perché con qualcosa bisognerà pur divertirsi ogni tanto, allora si inizia a studiare casi analoghi in dimensioni superiori. Ci si aspetterebbe che aumentando il numero delle dimensioni, il numero di sfere n-dimensionali che si dispongono in maniera più efficiente secondo i termini del problema iniziale nella forma a salsicciotto diventi sempre più grande. Peccato che nel 1975 Laszlo Fejes Toth, matematico ungherese che occupò buona parte della sua attività a studiare gli impacchettamenti, ha formulato la così detta congettura della salsiccia⁽²⁾, secondo la quale, per dimensioni uguali o superiori a 5, la disposizione delle ipersfere che occupano l'ipervolume più piccolo possibile è sempre quella a salsiccia.
E visto che è una congettura, come potete immaginare, non è stata ancora dimostrata: il risultato migliore è stato raggiunto nel 1998 da Ulrich Betke, Martin Henk e Jorg Willis che hanno dimostrato la congettura di Toth fino alla dimensione 42 compresa⁽¹⁾.

Arance al mercato

Come ci aiuta tutto ciò per risolvere il problema di Kepler? Semplice: è sempre Toth che nel 1940⁽¹⁾ ha dimostrato che la disposizione migliore nel piano è proprio quella a simmetria esagonale⁽³⁾.
Il problema, però, è quando si passa al caso tridimensionale. Il problema sta sempre nella generalizzazione: prendiamo la dimostrazione di Carl Friederich Gauss datata 1831. In quel caso il matematico tedesco dimostrò che la congettura di Kepler era vera nel caso di disposizioni regolari per il primo strato. Peccato che esistono un'infinità di disposizioni irregolari e ciò rende la dimostrazione particolarmente difficile.
La stessa storia della dimostrazione della congettura è particolarmente difficile: nel 1953 Toth⁽⁴⁾ (sempre lui!) mostrò che il problema poteva essere ridotto a un numero finito, per quanto grande, di calcoli. Questo implicava l'esistenza di una dimostrazione per esaurimento e su questo fatto puntò Thomas Hales, che mise in campo le possibilità offerte dai moderni calcolatori elettronici. Aiutato dallo studente Samuel Ferguson, Hales completò la dimostrazione nel 1998, tutta basata su calcoli numerici, ovvero sul verificare tramite un apposito algoritmo tutte le possibili disposizioni di sfere intorno ad altre sfere.

Visto che i matematici non sono mai contenti e non si accontentano dell'articolo del 2005 dove Hales pubblicò la parte non computazionale della sua dimostrazione, nel gennaio del 2003 annunciò la partenza di un progetto collaborativo per realizzare una dimostrazione formale completa della congettura di Kepler. L'idea era quella di utilizzare anche in questo caso un software apposito in grado di verificare i passaggi della dimostrazione stessa. A dispetto della previsione di Hales, che riteneva l'impresa completabile in 20 anni, il progetto, denominato Flyspeck, concluse i lavori il 10 agosto del 2014, 9 anni prima del previsto. L'articolo in cui la dimostrazione viene presentata è stato successivamente pubblicato su Forum of Mathematics nel 2017⁽⁶⁾.
Si conclude così la storia di uno dei 23 problemi del secolo identificati nel 1900 da David Hilbert, le cui difficoltà sono state ben raccontate dallo stesso Hales sulle Notices of AMS nel 2000⁽⁵⁾.
Per cui ora non avete più scuse: anche la matematica ha dimostrato che la migliore disposizione delle palline da biliardo della vostra collezione è quella delle arance del fruttivendolo. Correte a metterle in ordine!

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1. Ian Stewart (2010). La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart. La biblioteca de Le Scienze. ↩↩↩↩↩
2. Hajnal, A., & Tóth, L. F. (1975). Research problems. Periodica Mathematica Hungarica, 6(2), 197–199. doi:10.1007/bf02018822
   In effetti Hajnal ha semplicemente adattato in inglese il risultato di Toth. ↩
3. Poiché buona parte della produzione di Toth ha titoli in tedesco, non sono riuscito a capire quale dei suoi articoli del 1940 fosse quello corretto, ma di certo nel 1950 è uscito un articolo in inglese nel quale ottiene lo stesso risultato narrato da Ian Stewart:
   Tóth, L. F. (1950). Some packing and covering theorems. Acta Sci. Math. Szeged, 12(A), 62-67. ↩
4. Fejes Tóth, L. (1953), Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Band LXV, Berlin, New York: Springer-Verlag ↩
5. Hales, T. C. (2000). Cannonballs and honeycombs. Notices-American Mathematical Society, 47(4), 440-449. (pdf) ↩
6. Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (29 May 2017). "A Formal Proof of the Kepler Conjecture". Forum of Mathematics, Pi. 5: e2. doi:10.1017/fmp.2017.1 ↩