Le grandi domande della vita: Il mondo esatto delle particelle

Per questa nuova puntata de Le grandi domande della vita la fa da padrone la fisica delle particelle, cui si aggiunge la matematica immaginaria e un'anticipazione del pi day, assolutamente necessaria come vedrete leggendo l'ultima sezione di questa puntata.

Solide certezze

Ricordate il famoso discorso di Richard Feynman? Quello che fa C'è tanto spazio lì sotto? Bene. Anche se non formulata esattamente in questo modo, una possibile conseguenza dell'affermazione di Feynman è quella di porsi la domanda su come mai, con così tanto vuoto nella materia, quella solida è, effettivamente, così solida, in particolare nel senso del tatto.
Una possibile risposta possiamo provare a darla utilizzando un articolo proprio di Feynman sulle forze all'interno delle molecole⁽¹⁾. Fondamentalmente l'idea è quella usuale: i nuclei di carica positiva sono circondati da nuvole di elettroni che orbitano intorno a essi. Gli atomi, in forza di queste nuvole elettroniche che interagiscono tra loro grazie al movimento degli elettroni, tendono a costituire dei legami, sostanzialmente retti dalla legge di Coulomb, grazie all'attrazione che le nuvole elettroniche esercitano sui nuclei. In qualche modo, dunque, sono ad esempio le nuvole elettroniche dei nostri elettroni esterni che vengono respinte dalle nuvole elettroniche degli elettroni esterni ad esempio della tastiera dove sto scrivendo, rendendo la tasiera stessa impenetrabile dalle mie dita.

Immagina. Puoi!

Mi sono reso conto che non ho mai raccontato molto sui numeri immaginari. Per cui colgo l'occasione della richiesta di risoluzione dell'equazione $x^2 + 16 = 0$ per parlare di questi particolari numeri.
L'equazione di cui sopra, infatti, ha una risoluzione non molto difficile. Vediamone i passaggi: \[x^2 = -16\] \[x = \sqrt{-16}\] A questo punto, proprio come farebbe un matematico greco, ci fermeremmo ricordandoci che per anni ci hanno insegnato che non è possibile estrarre la radice quadrata da un numero negativo. Più o meno la stessa cosa era sul punto di fare anche Erone di Alessandria, che durante i suoi calcoli per trovare il volume di una sezione piramidale, si era imbattuto proprio in qualcosa del genere. Erone fu molto vicino dallo scoprire (o inventare) i numeri negativi: per aggirare il problema, infatti, decise di far sparire il segno negativo.
Passano i millenni e nel 1545 sull'Ars Magna di Girolamo Cardano si trovano le soluzioni delle equazioni cubiche e quartiche. Una delle soluzioni contenute nel libro è $5 \pm \sqrt{-15}$. Cardano così commenta il suo risultato:

Lasciando da parte le torture mentali e moltiplicando $5 + \sqrt{-15}$ per $5 -\sqrt{-15}$, otteniamo $25 - (-15)$. Pertanto il prodotto è $40$ (...) e così lontano arriva la sottigliezza matemaica, per cui il fine è, come ho detto, così sottile da essere inutile.

Poi nel 1572 arriva un altro italiano, Rafael Bombelli che introdusse l'unità immaginaria $i$ e per primo descrisse l'algebra di quelli che oggi chiamiamo numeri complessi, ovvero costituiti da una parte reale e da una parte immaginaria. Qualcosa come $2 + 3i$.
I numeri immaginari e complessi non vennero molto utilizzati fino all'arrivo di due dei più geniali matematici di tutti i tempi, Leonhard Euler e Carl Friedrich Gauss, mentre fu Caspar Wessel a introdurre la loro descrizione geometrica come punti su un piano costituito da un asse dedicato ai numeri reali e un asse dedicato ai numeri immaginari. Successivamente arrivò William Rowan Hamilton con i quaternioni, ma questa è una storia che ho già raccontato.
Quindi siamo pronti per fornire la soluzione all'equazione da cui siamo partiti: \[x = \pm 4i\]

Le particelle di Weyl

Esistono, più o meno anche in natura, tre tipi differenti di fermioni, quelli di Dirac, quelli di Majorana e quelli di Weyl. Per cui è più che legittimo chiedersi quali siano le differenze tra queste tre tipologie. Facendola il più semplice possibile, sia i fermioni di Majorana sia quelli di Weyl nascono da modifiche all'equazione di Dirac, che a sua volta è una delle due versioni relativistiche dell'equazione di Schroedinger. In particolare Majorana determinava soluzioni che avevano come conseguenza l'esistenza di una particella neutra che è al tempo stesso la propria anti-particella. Weyl, invece, con l'omonima equazione, descisse una particella di spin semi-intero priva di massa⁽²⁾.
In effetti non è mai stata osservata una particella fondamentale con le caratteristiche di quella di Weyl, ma fermioni di Weyl possono emergere come quasiparticelle in sistemi di materia condensata a bassa energia. Prima di aggiungere altri dettagli val bene spendere un paio di parole sulle quasiparticelle facendo un esempio: un elettrone che si muove all'interno di un semiconduttore, può essere descritto o come l'elettrone stesso disturbato dagli elettroni e dai nuclei del semiconduttore, o come un elettrone libero con una massa differente rispetto a quella nota. In quest'ultima descrizione l'elettrone è una quasiparticella.
Detto ciò, la prima osservazione di un fermione di Weyl è avvenuta nella seconda metà del 2015⁽³⁾, quando il fermione di Weyl è risultato abbinato a un arco di Fermi, ovvero una zona di densità nulla all'interno di un superconduttore. L'osservazione era stata preceduta l'anno prima da un lavoro teorico che suggeriva come utilizzare l'arsenide di tantalio per la realizzazione di uno stato di fermione di Weyl⁽⁴⁾.
I fermioni di Weyl potrebbero essere utilizzati nell'elettronica grazie alla loro grande mobilità o, come fatto nel 2017 da un gruppo di ricerca dell'Università di Vienna⁽⁵⁾, per sviluppare dei nuovi materiali.

L'esattezza di $\pi$

Iniziamo a entrare nello spirito del pi day, che sarà tra poco più di due mesi, con una bella domanda dedicata, ovvero se $\pi$ è un numero esatto o inesatto. Per una volta ho provato a rispondere direttamente su Quora e dunque vi propongo esattamente quella risposta:
Partiamo dalla definizione di numeri esatti e inesatti, presa da una presentazione on-line. Un numero si dice esatto se il suo valore è fornito senza incertezza, ovvero se è noto in maniera esatta. Ad esempio ci sono esattamente dodici oggetti in una dozzina, non 12.01 o 11.99. Oppure in una stanza ci sono 7 persone, mai 6.99 o 7.03.
Un numero inesatto è un numero il cui valore è noto con un certo grado di incertezza. Si parla di numeri inesatti ogni volta che si compie una misura. Un esempio di numero inesatto è la massa dell'elettrone: conosciamo il suo valore con una certa incertezza.
Quindi possiamo dire di non conoscere il valore esatto di $\pi$, ma non possiamo affermare che $\pi$ è un numero inesatto, perché non possiamo fornire alcuna incertezza sul suo valore.
In ogni caso $\pi$, in quanto costante, non possiede incertezza, quindi possiamo dire che $\pi$ è un numero esatto.
D'altra parte, il valore di $\pi$ calcolato sperimentalmente è un numero inesatto. Ad esempio possiamo calcolare $\pi_{exp}$ misurando il raggio e la circonferenza di un cerchio, e poiché entrambe le due misure hanno un'incertezza, anche $\pi_{exp}$ ha un'incertezza, e quindi $\pi_{exp}$ è un numero inesatto.