I rompicapi di Alice: Triangoli eleganti

Dopo il particolare triangolo di triangoli de Le grandi domande della vita di fine agosto, torno a occuparmi di triangoli con alcuni teoremi che sono anche rompicapi, o rompicapi che sono anche teoremi. Partiamo dalle basi.

Congruenti, ma non sempre

I triangoli sono delle figure di geometria piana (un poligono) costituite da tre punti non allineati collegati insieme da tre segmenti. In totale ogni triangolo è allora caratterizzato da 6 elementi, tre angoli e tre segmenti. Euclide, negli Elementi, propone al suo lettore i seguenti tre criteri di congruenza dei triangoli:

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso

che è dato come postulato

Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli a esso adiacenti rispettivamente congruenti

dimostrabile a partire dal 5.o postulato, modificando il quale è possibile creare delle geometrie non euclidee

Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamente congruenti

E' possibile determinare altri tre criteri di congruenza, che hanno in comune con i tre precedenti di Euclide un semplice fatto: un triangolo è congruente a un altro se tre di questi sei elementi sono congruenti. Questo ci porterebbe a pensare che due triangoli che hanno cinque elementi congruenti sono a loro volta congruneti. Peccato che, come ha mostrato Richard Pawley, insegnante californiano di matematica, esistono dei triangoli di tal genere che non sono congruenti tra loro⁽¹⁾. L'unica possibilità per cui ciò può verificarsi è quanto i due triangoli hanno congruenti tra loro due lati e tutti e 3 gli angoli⁽²⁾. L'esempio più semplice di questo fatto è dato dai due triangoli nella figura qui sotto:

Triangoli equilateri

Risultato più curioso e in qualche modo più elegante, tradizionalmente attribuito a Napoleone⁽²⁾, è quello del prossimo rompicapo triangolare.
Prendiamo un triangolo $ABC$ di qualunque forma. Su ciascuno dei lati costruiamo un triangolo equilatero che punta verso l'esterno o verso l'interno. In entrambi i casi si uniscono tra loro i tre centri (ovvero i punti di intersezione tra le altezze) uno con l'altro, andando così a formare un quinto triangolo: questo si rivelerà essere equilatero.
Esistono due casi limite: il primo quando il triangolo iniziale è un equilatero. In questo caso, quando costruiamo i tre triangoli all'interno di quello iniziale, il quinto triangolo è degenere, ovvero un punto e coincide con il centro del triangolo equilatero iniziale. L'altro caso limite è quando il trinagolo iniziale è dato da un segmento, ovvero nel caso in cui $A$, $B$, $C$ sono allineati. Anche questa volta il triangolo generato dall'unione dei centri dei tre triangoli equilateri è a sua volta un equilatero⁽²⁾.

Il cerchio dai nove punti

Attribuito a Karl Wilhelm Feuerbach, che ne aveva pubblicato una dimostrazione nel 1922 nel suo trattato Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung, il teorema del cerchio dei nove punti era stato scoperto un anno prima⁽²⁾ dai due matematici francesi Charles Brianchon e Jean-Victor Poncelet.
Prendiamo un triangolo qualsiasi. Determiniamo i tre punti medi, i piedi delle tre altezze e i punti medi dei tre segmenti che congiungono l'ortocentro (l'intersezione delle tre altezze) con ciascuno dei tre vertici. Questi nove punti così determinati appartengono alla stessa circonferenza, il cui raggio risulta la metà del cerchio che circoscrive il triangolo.

Le linee di Ceva

Se prendiamo i punti medi di ciascun lato e li congiungiamo con i vertici opposti, abbiamo costruito le tre mediane di un triangolo. Tali segmenti sono, però, generalizzabili nelle linee di Ceva o ceviane, dette così in onore del matematico italiano Giovanni Ceva che dimostrò un teorema su un caso speciale di ceviane che, ovviamente, porta il suo nome. Una ceviana è, in generale, un segmento che congiunge un vertice con un qualunque punto del lato opposto. Dividiamo, allora, i lati di un triangolo in un modo differente rispetto alla metà: per 3. Tracciamo tre ceviane come mostrato nella figura qui sotto:

Come si vede l'intersezione delle tre ceviane suddivide il triangolo in sette regioni. Posta come 1 l'area del triangolo di partenza, quello centrale ha un'area di $3/21$ ovvero $1/7$.
Se generalizziamo suddividendo i lati in $n$ parti, allora, come ha mostrato Howard Grossman⁽²⁾, l'area del triangolo centrale è data dalla formula \[\frac{(n-2)^2}{n^2-n+1}\]

Il problema delle aste che si incrociano

Un classico rompicapo che coinvolge i triangoli, le cui origini non sono ben note, prevede la presenza di due aste di lunghezze differenti, $a$ e $b$, che, appoggiate a due muri paralleli, si incrociano in un punto la cui altezza da terra è pari a $c$, come mostrato nella figura:

La domanda è, ovviamente, determinare la distanza tra i due muri.
E' possibile fornire due metodi risolutivi. Entrambi prevedono l'utilizzo di equazioni di quarto grado. In particolare, utilizzando la notazione dell'immagine di sopra⁽²⁾, l'equazione risolutiva, determinata da William Ransom in One hundred mathematical curiosities del 1955, è \[k^4 - 2ck^3 + k^2 (a^2-b^2) - 2ck (a^2-b^2) + c^2 (a^2-b^2)\] In entrambi i metodi gioca un ruolo fondamentale la relazione tra le altezze \[\frac{1}{h} + \frac{1}{k} = \frac{1}{c}\]

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1. Pawley, R. (1967). 5-con triangles. The Mathematics Teacher, 60(5), 438-443. (jstor) ↩
2. Gardner, M. (1970). Mathematical Games: Elegant triangle theorems not to be found in Euclid. Scientific American, 222(6), 132-140. doi:10.1038/scientificamerican0670-132 (jstor) ↩↩↩↩↩↩