La risposta fondamentale
Esiste un numero che non è 4 o 5 modulo 9 e che non può essere espresso come una somma di tre cubi?Per trovare una risposta a tale domanda, sono stati utilizzati soprattutto dei metodi numerici. In particolare Andreas-Stephan Elsenhans e Jorg Jahnel(2), utilizzando un metodo che, semplificando, utilizza un particolare spazio vettoriale(1), hanno cercato le soluzioni dell'equazione diofantea \[x^3 + y^3 + z^3 = n\] per un intero positivo $n$ fino a 1000 e con $\displaystyle \max (|x|,|y|,|z|)<10^{14}$. Tale metodo è stato successivamente steso da Sander Husiman(3) a $\displaystyle \max (|x|,|y|,|z|)<10^{15}$. Alla fine tutti i numeri inferiori a 100 che non sono 4 o 5 modulo 9 hanno soluzione tranne 33 e 42.
La scomposizione cubica di questi due numeri, però, è arrivata proprio in questo 2019. In entrambi i casi protagonista è stato Andrew Booker(4). Nel caso del 33 la soluzione arriva a marzo: \[\begin{array}{c} (-80538738812075974)^3 \, + \, (-8778405442862239)^3 \, + \\+ \, (-2736111468807040)^3 = 33\end{array}\] E' interessante osservare come Booker, nell'abstract, affermi di essersi fatto ispirare da un video di Numberphile su youtube:
La soluzione per 42 arriva agli inizi di settembre: \[\begin{array}{c} (8866128975287528)^3 \, + \, (80435758145817515)^3 \, + \\+ \, (12602123297335631)^3 = 42\end{array}\] In questo caso Booker raggiunge il risultato in collaborazione con Andrew Sutherland, completando così la lista con tutti i numeri inferiori a 100 che non sono pari a 4 o 5 modulo 9.
Ora, tra i numeri compresi tra 100 e 1000, restano "solo" 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 921, e 975.
La velocità di rotazione della Terra
Come vediamo dalle immagini provenienti dalla stazione spaziale internazionale, queste non mostrano alcuna distorsione dovuta alla rotazione del nostro pianeta intorno al suo asse. La Terra ruota all'equatore con una velocità di circa 1670 km/h, mentre i poli restano fermi. Eppure i satelliti non scattano alcuna fotografia "mossa" della Terra, e questo perché vengono posti su un'orbita geostazionaria, ovvero tali da essere fermi rispetto alla Terra. Anche nel caso in cui sono in moto rispetto alla Terra, la loro velocità relativa non così elevata da impedire ai sofisticati strumenti ottici di scattare foto ben definite. Se poi pensiamo che anche la Stazione Spaziale Internazionale, che ruota intorno alla Terra a una velocità di 27600 km/h a una distanza media di 408 km dalla superficie, ci invia immagini ben definite, capite bene che la rotazione terrestre non può influenzare più di tanto la qualità delle fotografie.
Per avere un'idea più terra terra basti pensare a un pallone da calcio, che ha un diametro di circa 22 cm. Per metterci nella stessa situazione della Stazione Spaziale Internazionale dovremmo posizionarci a 7 millimetri dalla sua superficie e poi far compiere al pallone una rotazione completa intorno al suo asse per il tempo di una partita di calcio (la Stazione Spaziale impiega poco più di 92 minuti per completare un'orbita). Il giro completo sarebbe lentissimo, come mostrano moltissimi video provenienti dallo spazio.
Il puzzle dei professori di Harvard
Il modo con cui il rompicapo che segue viene diffuso è leggermente fuorviante e viene fatto per mettere sotto pressione il lettore che vuole cimentarsi con esso. O quanto meno è il modo con cui è arrivato in Italia, dove si afferma che solo il 4% dei docenti di Harvard ha risolto tale puzzle, ovviamente senza dire che tale percentuale è compatibile con tutti i docenti dei dipartimenti di matematica e fisica.Vediamo, ora, il rompicapo: \[\begin{array}{rcl} 11 \times 11 & = & 4\\22 \times 22 & = & 16\\33 \times 33 & = & ?\end{array}\] Come ricordato ne La serie di Oxford, romanzo del matematico e scrittore Guillermo Martinez, trovare il terzo termine di una serie di cui si conoscono i primi due non è un risultato univoco, o per dirla in un modo diverso due termini non sono sufficienti per capire come si sviluppa una serie. A puro titolo di esempio basti pensare alla serie di Fibonacci che inizia con due $1$.
In questo caso, solo in teoria, i termini a sinistra dell'uguale potrebbero dare una mano, ma come vedremo non è così, perché non solo possiamo trovare un numero differente di soluzioni, ma alcune di queste anche con differenti metodi risolutivi. Iniziamo con quello che può essere il metodo più immediato: concentriamoci solo sui termini a destra dell'uguale. Abbiamo $4$ e $16$, con $16 = 4 \cdot 4$. A quel punto sarebbe lecito fare l'operazione $16 \cdot 4 = 64$. La risposta, visti gli scarsi dati, è indubbiamente lecita, ma l'ovvia domanda matematica è: il risultato è compatibile con quanto scritto a sinistra dell'uguale? In un certo senso sì, considerando che $4 = 4^1$ e a sinistra c'è $11 \times 11$, $16 = 4^2$ e a sinistra c'è $22 \times 22$, e $64 = 4^3$ e a sinistra c'è $33 \times 33$. Possiamo, però, fare un altro ragionamento andando prima di tutto a vedere quale sarebbe il risultato dell'operazione a sinistra interpretando $\times$ come il simbolo della moltiplicazione: \[\begin{array}{rcl} 11 \times 11 & = & 121\\22 \times 22 & = & 484 = 4 \cdot 121\\33 \times 33 & = & 1089 = 9 \cdot 121\end{array}\] Se osserviamo il risultato delle moltiplicazioni e proviamo a fare la somma delle cifre di ciascuno di essi otteniamo rispettivamente $4$, $16$ e $18$, e quindi quest'ultima sarebbe la soluzione, forse la seconda più ovvia per ragionamento.
Il punto è che le soluzioni fin qui dette non sono matematicamente esatte, ma si basano sostanzialmente sulla logica.
Andiamo allora a cercare una soluzione che renderebbe coerente il risultato esatto dell'operazione a sinistra con il risultato segnato a destra dell'uguale.
Il metodo matematicamente più raffinato è l'uso della matematica modulare. Vediamo cos'è l'operazione di modulo.
La matematica, o aritmetica modulare, anche detta aritmetica dell'orologio, perché è su tale principio che si basa il ciclo con cui misuriamo le ore, è molto utilizzata in crittografia, teoria dei numeri, in particolare nella ricerca dei numeri primi, e in altri campi della scienza. Introdotta da Carl Friedrich Gauss in Disquisitiones Arithmeticae del 1801, l'operazione di modulo è definita come segue: \[a \equiv b \, (\text{mod} \, n)\] se $(a - b)$ è un multiplo di $n$.
Supponiamo, allora, che esista un numero $n$ tale per cui \[\begin{array}{rcccl} 11 \times 11 & = & 121 & = & 4 \, (\text{mod} \, n)\\22 \times 22 & = & 484 & = & 16 \, (\text{mod} \, n)\end{array}\] ovvero \[117 = a \cdot n\] \[468 = b \cdot n\] con $a$, $b$ interi positivi. Considerando che $468/117 = 4$, la soluzione più semplice per $n = 117$, da cui $121 = 4 \, (\text{mod} \, 117)$ e $484 = 16 \, (\text{mod} \, 117)$.
In questo modo la soluzione dell'ultima riga viene dal risultato dell'operazione di modulo: $1089 = 36 \, (\text{mod} \, 117)$, e dunque la risposta è $36$, che è peraltro matematicamente esatta applicando l'aritmetica modulare!
Attenzione: ricordo che $117 = 3^2 \cdot 13 = 3 \cdot 39$. Quindi i risultati di cui sopra si possono ottenere tutti e tre utilizzando anche tutti i divisori di $117$.
Esiste un'altra soluzione matematicamente esatta? Se interpretiamo il segno tra i numeri a sinistra dell'uguale non come $times$ ma come l'incognita $x$, abbiamo un sistema di tre equazioni in una sola incognita. In questo modo se le due prime equazioni hanno la stessa soluzione per $x$, allora diventa facile determinare il risultato della terza equazione. Dalla prima equazione troviamo che $x = 4/121$. Dalla seconda equazione troviamo che $x = 16/484 = 4/121$. Per cui \[33 \, x \, 33 = 1089 \frac{4}{121} = 9 \cdot 121 \frac{4}{121} = 36\] Possiamo dare altri metodi risolutivi, più o meno esatti dal punto di vista matematico: indubbiamente il più interessante sarebbe quello di reinterpretare il simbolo $\times$ non come una moltiplicazione, ma come un'operazione ignota. In questo caso diventa un giochino divertente e stuzzicante costruire le regole di composizione di questa operazione per far sì che i risultati delle prime due espressioni siano corrette e ottenere alla fine il risultato dell'ultima operazione.
Altri metodi, meno complessi rispetto a quello che ho descritto solo a parole qui sopra, li potete trovare su Quora (rimetto qui il link), qualcun altro su Mind your decisions, ma se volete cimentarvi, ci sono i commenti a vostra disposizione!
Le particelle e la gravità
Vista la ricchezza di contenuti, soprattutto matematici, di questa edizione, mi è sembrato giusto concludere con una domanda dalla risposta veloce, ovvero la curiosità se esista un qualche esperimento che mostri come le particelle elementari come gli elettroni rispondono alla gravità. E in effetti praticamente tutti gli esperimenti progettati per la verifica del principio di equivalenza fanno esattamente ciò!
- Perdonatemi per l'eccessiva semplificazione. ↩
- Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009), New sums of three cubes, Mathematics of Computation, 78 (266): 1227–1230, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6 ↩
- Huisman, Sander G. (2016), Newer sums of three cubes, arXiv:1604.07746 ↩
- Booker, A.R. Cracking the problem with 33. Res. number theory (2019) 5: 26. doi:10.1007/s40993-019-0162-1 (arXiv) ↩
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