I rompicapi di Alice: Squadrare

Il problema più noto, in matematica, è ovviamente quello della quadratura del cerchio. Ne esiste, però, un altro, non esattamente analogo ma suo parente, che coinvolge rettangoli e quadrati, noto come la quadratura (o squadratura) del rettangolo. In effetti tale rompicapo, in realtà, è molto vicino ai classici problemi di tassellazione. Il problema è presto detto: è possibile ricoprire un rettangolo (o un quadrato) con quadrati più piccoli di dimensioni differenti?

Squadratori

E' abbastanza ovvio che è possibile suddividere un rettangolo in tanti quadrati uguali a patto che i lati del rettangolo siano entrambi multipli del lato del quadrato scelto. La faccenda risulta un po' meno intuitiva nel caso in cui decidiamo di squadrare un rettangolo utilizzando quadrati diversi uno dall'altro. Il primo a riuscire in un'impresa del genere fu il matematico polacco Zbigniew Moroń che nel 1925 scoprì i primi due rettangoli di tal genere⁽¹⁾

Moroń, inoltre, fece un'osservazione interessante: aggiungendo a uno dei lati del rettangolo un quadrato con lo stesso lato, allora era possibile, alternando i lati, allargare il rettangolo in maniera indefinita. Come successivamente osservò Pasquale Joseph Federico⁽⁶⁾ tale processo è simile alla serie di Fibonacci e quindi il rapporto tra i lati del rettangolo si avvicina a phi, il numero aureo, man mano che il rettangolo diventa più grande.
Erede di Moroń fu Roland Sprague che nel 1939 scoprì il primo quadrato squadrato, utilizzando ben 55 quadrati diversi.

Un gran bel lavoro venne compiuto da un gruppo di giovani ricercatori dell'università di Cambridge: Leonard Brooks, Cedric Smith, Arthur Stone e William Tutte proposero un articolo in cui collegavano il problema della squadratura dei rettangoli con le reti, in particolare le reti elettriche⁽²⁾.
Al di là dell'applicazione pratica alle reti⁽³⁾, questo approccio ha permesso di trovare risposta a un'interessante questione: esiste un rettangolo che può essere squadrato in due modi distinti senza che ci siano quadrati in comune?
I quatrro matematici hanno, in pratica, costruito un vero e proprio catalogo di rettangoli squadrati a partire dai due rettangoli di Moroń per creare quelli di ordine 69 e 39. E' proprio con il crescere del catalogo che iniziarono a spuntare sempre più esempi di dissezioni multiple. L'esempio più piccolo di un rettangolo con due dissezioni distinte appare nell'ordine 13: 593 $\times$ 422.
Utilizzando tecniche analitiche (carta e penna, per intenderci), il miglior risultato ottenuto fu quello di Theophilus Willcocks che nel 1948 scoprì una disposizione di 24 quadrati distinti per formare un quadrato di lato 175⁽⁷⁾. Ovviamente anche in questo campo il grande balzo arrivò con l'avvento dei computer: nel 1962 Adrianus Duijvestijn scoprì che il numero minimo di quadrati distinti necessari per costruire un quadrato è 21, formando un quadrato di lato 112⁽⁴⁾.
L'ultimo grande risultato in ordine di tempo è quello ottenuto nel 2008 da Frederick Henle e James Henle che sono riusciti a dimostrare che è possibile piastrellare il piano infinito senza lasciare buchi utilizzando quadrati distinti⁽⁵⁾.

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1. Moroń, Z. (1925). O rozkładach prostokątów na nierówne kwadraty. Prezeglad Mat. Fiz. 3 152-153.
   Il titolo dell'articolo è traducibile con un Sulla dissezione di un rettangolo in quadrati. ↩
2. Brooks, R. L., Smith, C. A. B., Stone, A. H., & Tutte, W. T. (1940). The dissection of rectangles into squares Duke Math. J, 7, 312-340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9 ↩
3. In effetti Tutte scrisse un lungo articolo divulgativo per la rubrica Mathematical games di Martin Gardner su Scientific American:
   Gardner, M. (1958). How rectangles, including squares, can be dividedinto squares of unequal size. Scientific American* Vol. 199, No. 5 (November 1958), pp. 136-144 doi:10.1038/scientificamerican1158-136 ↩
4. A.J.W. Duijvestijn, Electronic computation of squared rectangles. Dissertation, Technische Hogeschool, Eindhoven, The Netherlands, 1962; also in Phillips Res. Reports 17 (1962) 523-612. (pdf) ↩
5. Henle, F. V., & Henle, J. M. (2008). Squaring the plane. The American Mathematical Monthly, 115(1), 3-12. doi:10.1080/00029890.2008.11920491 (pdf) ↩
6. Zbigniew Moroń su squaring.net ↩
7. In effetti il quadrato di quadrati di Willcocks venne scoperto da quest'ultimo nel 1946 e pubblicato due anni dopo, come ricordato su squaring.net ↩