Un caotico equilibrio

La nostra storia matematica inizia in una disciplina che, apparentemente, ha ben poco a che spartire con la matematica: la biologia. Correva l'anno 1975, un gran bell'anno che, tra le altre cose, ha visto la nascita della Microsoft di Bill Gates. Sulla rivista Nature, invece, Robert May, ecologo australiano, pubblica un articolo di rassegna dal titolo piuttosto indicativo: Simple mathematical models with very complicated dynamics⁽²⁾. Cuore della trattazione è l'equazione qui sotto: \[x_{t+1} = a x_t (1 - x_t)\] L'equazione, o mappa logistica, questo il suo nome, mi descrive il tasso di variazione della popolazione al variare del parametro $t$, in questo caso inteso in maniera discreta più che continua, mentre $a$ è una costante che identifica il tasso di crescita di una popolazione. $x_t$, invece, è il rapporto tra la popolazione esistente e quella massima possibile al tempo $t$.
Il modello così descritto è deterministico, ovvero la popolazione all'istante 0 determina la popolazione agli istanti successivi. L'equazione prevede l'esistenza di uno stato stazionario, ovvero una situazione in cui la popolazione al tempo $t+1$ è uguale alla popolazione al tempo $t$. Tale stato risulta stabile, ovvero viene mantenuto per un tempo sufficientemente lungo, solo per $a$ inferiore o uguale a 3. Quando, però, il tasso di crescita supera tale valore, la dimensione della popolazione inizia a oscillare tra 0 e 1, apparentemente in modo casuale. In realtà, osservando attentamente, si notano delle piccole ricorrenze più o meno periodiche, che mostrano come il comportamento dell'equazione è in realtà caotico.

Differenze tra comportamento caotico e casuale - via Geoff Boeing

E poiché l'equazione descrive abbastanza bene la crescita di una popolazione, la conclusione è abbastanza ovvia: l'equilibrio, in natura, non esiste, o quanto meno non esiste una condizione stabile in natura.
Inoltre è possibile vedere in maniera netta anche il così detto effetto farfalla. Questo tipicamente raccontato con la storiella del battito d'ali di una farfalla in Brasile che genera un tornado a New York. In termini matematici, il battito d'ali della farfalla è una variazione, anche piccola, delle condizioni iniziali, ad esempio delle dimensioni della popolazione al tempo 0. Ad esempio una variazione di appena 1/10000 genera una variazione che inizia a diventare evidente dalla 30.ma generazione.

L'effetto farfalla in un unico grafico - via Geoff Boeing

In effetti May aveva iniziato a occuparsi di caso nel 1974 quando, questa volta su Science, uscì Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos⁽¹⁾ dove presentò alcuni semplici modelli sulla crescita di popolazioni biologiche. Oltre ad alcune equazioni differenziali, May presentò anche una variazione sulla mappa logistica. Di esempi di presenza del caos in sistemi tra i più disparati ce ne sono molti, ma per ora mi fermo qua, ricordandovi comunque quello relativo al problema dei tre corpi. Altri, magari, li approfondirò in futuri articoletti.

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1. May, R. M. (1974). Biological populations with nonoverlapping generations: stable points, stable cycles, and chaos. Science, 186(4164), 645-647. doi:10.1126/science.186.4164.645 ↩
2. May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261(5560), 459-467. doi:10.1038/261459a0 ↩