L'argomento lo riprenderò alla fine dell'articolo con un video del CNR, ma visto che vorrei, per ora, non trattare l'argomento, vi propongo in questa nuova puntata monotematica (o quasi) un argomento di genere relativistico: il paradosso di Ehrenfest.
Disco rotante
Il paradosso parte da un articoletto del 1909 di Paul Ehrenfest(1) in cui il fisico teorico prova a descrivere cosa succede a un disco posto in rotazione con velocità relativistica. L'idea di Ehrenfest era, però, quella di dimostrare che il concetto di rigidità relativistica introdotta da Max Born non può essere applicato alla maggior parte dei corpi rigidi.
Dal punto di vista vettoriale la velocità perpendicolare è data dall'espressione: \[\vec v_\perp = \frac{\vec r^\perp}{r} \cdot \vec v\] con $\vec r^\perp = (-y,x)$.
Ora, supponiamo che la rotazione del disco sia tale per cui la velocità di rotazione, la $v_perp$, sia relativistica. Questo vuol dire che entreranno in gioco degli effetti relativistici, in particolare quello sulla lunghezza della circonferenza, che dovrebbe subire l'effetto della contrazione delle lunghezze. Ovvero \[2 \pi r' < 2 \pi r\] dove $r'$ è il raggio della circonferenza misurato in un sistema di riferimento stazionario. Il problema, per cui sorge il paradosso, è che il raggio, essendo perpendicolare al moto di rotazione, non subisce dell'effetto della contrazione delle lunghezze, quindi: \[r' = r\] in contraddizione con la contrazione che dovrebbe, invece, subire la circonferenza.
Dal punto di vista storico tale paradosso è, in qualche modo, alla base della nascita della relatività generale. Infatti secondo Albert Einstein, poiché un eventuale strumento di misurazione sarebbe allineato alla periferia del disco e, quindi, in movimento con essa, anch'esso risulterebbe contratto e questa contrazione sarebbe sempre più alta man mano che lo strumento risultasse vicino al bordo del disco. Conseguenza di ciò sarebbe proprio una misura della circonferenza maggiore rispetto a $2 \pi r$. La conclusione di Einstein era, allora, un'indicazione sul fatto che la geometria del sistema risulta essere non euclidea per gli osservatori in rotazione.
L'altro aspetto interessante, sempre dal punto di vista storico, è che tale paradosso ha prodotto un'estesa discussione tra i fisici intorno alla relatività speciale che è giunta addirittura fino al 2002.
Non entro né nel merito né nei dettagli della discussione, ma mi limito a utilizzare tale paradosso per introdurre le trasformazioni di Lorentz generiche (pdf), ovvero quelle nel caso in cui la velocità relativistica è un vettore con tutte le componenti diverse da 0: \[t' = \gamma \left ( t - \frac{\vec r \cdot \vec v}{c^2} \right )\] \[\vec r' = \vec r_\perp + \gamma \left ( \vec r_\parallel - \vec v \cdot t \right )\] con \[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\] Queste equazioni di trasformazione sono, in effetti, quelle che dovremmo utilizzare per studiare il caso di un disco in rotazione relativistica. In questo caso, prendendo la formula relativa al raggio $\vec r'$, possiamo facilmente notare che, anche nel caso semplie di $r_\parallel = 0$, cioé nell'interpretazione naif che $r_\parallel$ coincide con lo spostamento lungo il modo, la posizione dei punti della circonferenza nel sistema in movimento è diversa rispetto alla posizione dei punti nel sistema di riferimento stazionario. Quindi, in quest'ultimo sistema, non solo la circonferenza, ma anche il suo raggio dovrebbe subire un qualche effetto relativistico.
Di tutto ciò, però, non potremo mai avere certezza, visto che non è possibile compiere un esperimento reale di questo genere: un qualunque corpo rigido in rotazione ha già le sue brave difficoltà a non spaccarsi alla velocità del suono, figuriamoci a quella della luce!
La matematica delle epidemie
Non nascondo che ho in mente di scrivere anche io sull'epidemia, o pandemia, come è stata elevata dall'organizzazione mondiale della sanità, che stiamo vivendo in questo momento. Nell'attesa di cimentarmi anch'io nell'impresa (cosa che, però, non è garantita, conoscendomi), vi metto qui sotto un'interessante intervista di Roberto Natalini ad Andrea Pugliese, il massimo esperto italiano di matematica del contagio. Vale la pena ascoltarla tutta, ma nel finale arriva anche un chiarimento importante sulle capacità di previsione dei modelli matematici. Buona visione e buon ascolto:
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