Le grandi domande della vita: La natura di una serie

A margine dell'esame matematico dell'inseguimento tra Lelapo e la Volpe mi sono ritrovato a esaminare la convergenza di alcune serie numeriche. E allora, in questa breve puntata de Le grandi domande della vita (mi scuso per la sua brevità), che mancano ormai da un bel po', vado a esaminare le due serie specifiche, partendo dal problema di base che ha mosso la mia ricerca: trovare delle serie divergenti separatamente e convergenti quando vengono messe insieme.

Serie divergenti

Innanzitutto torno brevemente sulla definizione di serie: una successione di numeri legati uno all'altro da una data legge matematica. La successione può essere convergente, divergente o indeterminata in funzione della somma all'infinito dei suoi termini. In altre parole la serie sarà detta convergente se la somma dei suoi termini all'infinito fornisce un risultato finito (che possiamo considerare come il limite superiore della somma di questi inifiniti termini), sarà detta divergente se il risultato tende all'infinito (ovvero non esiste alcun limite superiore alla somma), sarà indeterminata se la somma dei termini oscilla tra due limiti finiti.
In particolare prendiamo queste due serie: $$1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{13} + \cdots$$ $$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \cdots$$ Le due serie possono essere rispettivamente scritte nel modo seguente: $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac {1}{4n+1}$$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac {1}{2n+3}$$ La convergenza di entrambe le serie può essere valutata passando dalla sommatoria all'integrale e dalla serie alla funzione: $$\int_0^{+\infty} \frac {1}{4x+1} dx = \frac{1}{4} \lim_{b \rightarrow \infty} \left [ \ln | 4x+1 | \right ]_0^b$$ che diverge per entrambe le serie.
Le cose, però, si fanno interessanti quando le mettiamo insieme. Chiamiamo la prima serie $a_n$ e la seconda $b_n$ e definiamo una terza serie $c_n$ in questo modo: $$c_n = 2 \cdot a_n - b_n - 1$$ Ovviamente verremmo portati a ritenere questa una serie divergente: se al doppio dell'infinito togliamo un infinito, il risultato resta sempre infinito. Per esserne certi, però, vediamo questa terza serie a cosa risulta uguale: $$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \cdots$$ Questa serie, però, converge: è infatti la famosa serie di Leibniz che ha come risultato $\frac{\pi}{4}$!