Quasi una sfera

Mentre il nostro occhio, già per poligoni regolari intorno ai 50 lati (forse anche prima), inizia ad avere difficoltà a distinguerli da una circonferenza, con i solidi regolari l'effetto arriva un po' più tardi. Questo, ad esempio, permette la costruzione di dadi dalle molte facce molto utilizzati nei giochi di ruolo: l'aumento di possibilità permette di costruire delle caratteristiche di base per i personaggi sufficientemente variabili da rendere la loro creazione abbastanza casuale (almeno per quel che serve in un gioco di ruolo).
Nessuno di questi dadi riesce a confondersi con una sfera, o quanto meno non quanto il solido con maggior facce mai costruito, l'esacisicosaedro. Questo è uno dei tredici solidi di Catalan, dal matematico belga Eugene Catalan che li ha scoperti (o descritti che dir si voglia) nel 1865⁽¹⁾. In particolare l'esacisicosaedro è costruito con 120 facce della forma di triangoli rettangoli con le seguenti proporzioni: $10 \sqrt{5} - 20$, $3 \sqrt{5} - 3$, $10 \sqrt{5} - 18$. Inoltre, detto $a$ lo spigolo più corto, la superficie esterna $A$ e il volume $V$ del solido sono dati dalle formule \[A = \frac{180}{11} \sqrt{179 - 24 \sqrt{5}} a^2\] \[V = \frac{180}{11} (5 + 4 \sqrt{5}) a^3<\] Per chi vuole un dado di questo genere, che evidentemente renderebbe qualunque gioco di ruolo decisamente molto interessante, c'è lo shop online del progetto The Dice Lab, anche se personalmente trovo che il d60, basato su un altro solido di Catalan, l'Esacontaedro trapezoidale, si confonda con una sfera molto meglio del d120.

Il d60, costituito da 60 facce, è basato sul dodecaedro, solido regolare a 12 facce pentagonali, in cui ogni faccia è a sua volta suddivisa in 5 aquiloni, dove per aquilone si intende una figura geometria che ha i lati contigui congruenti a due a due.

---

---

1. Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865 ↩