Meccanica quantistica: La meccanica delle matrici

Come abbiamo visto nella timeline della meccanica quantistica, il 2025 è stato scelto come anno per celebrare la meccanica quantistica in virtù della formulazione da parte di Werner Heisenberg della cosiddetta meccanica delle matrici. Questa, a fianco della formulazione ondulatoria di Erwin Schrodinger, cui è equivalente, costituisce la base formale della meccanica quantistica. Venne pubblicata in un gruppo di tre articoli, usciti proprio nel 1925 sulle pagine di Zeitschrift für Physik, ma la sua storia iniziò quello stesso anno lontano dalle semplici carte e ci porta verso l'isola di Helgoland.
Questi è un'isola tedensca di qualcosa come poco più di 4 km² dove Heisenberg si ritirò in meditazione per riflettere su una serie di problemi all'interno della meccanica quantistica. Questi aveva collaborato per un po' con Hendrik Kramers sul modello di Bohr-Sommerfeld, giungendo alla conclusione che era necessario abbandonare la meccanica classica per interpretare le transizioni quantistiche. Per questo scopo Heisenberg partì da una proposta di Albert Einstein.
Nel 1916 Einstein propose di descrivere in termini probabilistici l'insieme di tutte le possibili transizioni atomiche, costruendo una tabella costituita da queste probabilità. Ragionando sul modello di Bohr, Heisenberg giunse alla conclusione che anche posizione e quantità di moto di una particella come l'elettrone all'interno di un atomo dovevano essere rappresentati con altrettante tabelle infinite.
Quando giunse a tali considerazioni, alla consapevolezza che non serve più visualizzare la posizione o altre caratteristiche delle particelle, ma basta la visione astratta delle tabelle infinite, Werner Heisenberg decise di contemplare la bellezza del piccolo mondo in cui si era ritirato:

Erano circa le tre di notte quando il risultato finale del calcolo mi si presentò davanti. All'inizio ero profondamente scosso. Ero così eccitato che non riuscivo a pensare di dormire. Così uscii di casa e attesi l'alba in cima a una roccia.

Conseguenza delle sue riflessioni era un cambio completo nel modo di intendere il moto delle particelle, come commentò a Wolfgang Pauli una volta tornato a Gottinga mentre gli mostrava il risultato dei suoi calcoli:

Tutto mi appare ancora vago e poco chiaro, ma sembra come se gli elettroni non si muovono più lungo delle orbite.

Successivamente, il 9 luglio di quello stesso anno, Heisenberg si confidò anche con Max Born, mostrando anche a lui i suoi calcoli. Mentre l'articolo veniva preparato per la sottomissione a Zeitschrift für Physik, cosa che avvenne a fine luglio, Born iniziò a studiare l'articolo di Heisenberg, riconoscendo abbastanza in fretta come le equazioni del collega potevano essere ricondotte al formalismo matriciale. D'altra parte lo stesso Born era uno dei pochissimi fisici a conoscerlo e ad averlo applicato, nel 1921, per sviluppare la sua teoria sui cristalli. Born aveva appreso il formalismo delle matrici mentre studiava presso l'università di Breslau sotto la direzione di Jakob Rosanes, matematico tedesco che si occupava di geometria algerbica e teoria degli invarianti, tutti concetti basilari proprio del formalismo matriciale.
A quell'epoca Pascual Jordan, suo ex-studente, era diventato suo assistente. Jordan aveva collaborato per diversi anni con Richard Courant a Gottinga per la stesura di un libro che quest'ultimo stava scrivendo insieme con David Hilbert. In particolare Hilbert aveva sviluppato una teoria delle equazioni integrali e delle forme quadratiche per un numero infinito di variabili, teoria sulla quale lo stesso Born era preparato. Per cui insieme con Jordan si misero al lavoro per sviluppare il formalismo matriciale alla base delle idee di Heisenberg.
Born quindi si confrontò nuovamente con Heisenberg e alla fine, insieme con Jordan, scrissero un terzo e conclusivo articolo che, unito ai due precedenti, costituisce la formulazione matriciale della meccanica quantistica:

• W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925
• M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 34, 858-888, 1925
• M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1926

Il lavoro di Heisenberg, Born e Jordan portò al Premio Nobel per la fisica del 1932 assegnato al solo Heisenberg, insieme con Schrodinger, che come scritto all'inizio aveva realizzato una formulazione ondulatoria della meccanica quantistica, e con Paul Dirac, che aveva realizzato la sintesi della meccanica quantistica che utilizziamo ancora oggi.
Non si sa bene perché il premio venne assegnato al solo Heisenberg, e questo nonostante Einstein li avesse nominati tutti e tre, ma una spiegazione potrebbe essere legata allo stesso motivo per cui l'annuncio venne ritardato al novembre del 1933: l'ascesa del nazismo. Jordan, infatti, aveva aderito al partito nazista, e questo in qualche modo lo escluse dall'accedere al premio. Allo stesso modo venne escluso Born per i suoi legami di amicizia con Jordan.
Che il problema fosse Jordan verrebbe confermato indirettamente dal Premio nobel del 1954 che venne assegnato a Born per lavori sviluppati insieme con Jordan, che all'epoca era ancora in vita. E che non ricevette il Premio.
C'è da dire che Heisenberg cercò di sottolineare il contributo di Born e Jordan allo sviluppo della meccanica delle matrici: riteneva, infatti, l'assegnazione del Premio a lui solo come una decisione sbagliata. E in fondo non gli si potrebbe nemmeno dare tutti i torti, visto che le scelte politiche non dovrebbero comunque far dimenticare i contributi scientifici dei protagonisti della storia della scienza.

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Le immagini di Heisenberg e Born sono state generate utilizzando Copilot