Sette messaggeri cosmici

Supponiamo di metterci in viaggio dalla Terra verso il punto dell'universo osservabile più lontano. Sulla nostra navicella abbiamo sette sonde che ci servono per tenere i collegamenti tra noi e la Terra. Supponiamo che la velocità delle sonde coincide con quella della luce, o comunque pari a una velocità la cui differenza con $c$ sia trascurabile, mentre la velocità della navicella è $v = 2/3 \, c$. La sonda, una volta giunta in orbita alla Terra, trasmette le informazioni che abbiamo caricato nella sua memoria, quindi si dirige nuovamente verso di noi per raccogliere le nuove informazioni. Nel frattempo, a 24 ore di distanza una dall'altra, lanciamo tutte le navicelle.
Il tempo che impiega ciascuna sonda sarà dato dalla formula $$t = \frac{y_1+y_0}{c}$$ dove $y_0$ è lo spazio percorso all'andata (o se preferite la posizione della navicella rispetto alla Terra nel momento in cui è stata lanciata la prima sonda), $y_1$ quello del ritorno (che è la posizione della navicella rispetto alla Terra nel momento in cui la prima sonda ritorna) e $c$ è la velocità della sonda.
Nel frattempo anche la navicella si è spostata del tratto $y-x$ e il tempo impiegato dalla navicella è dato da $$t = \frac{y_1-y_0}{v}$$ Questi due tempi, però, sono uguali, quindi è facile ricavare la relazione tra la posizione iniziale e quella finale della navicella durante il periodo di viaggio della prima sonda: $$y_1 = \frac{c+v}{c-v} y_0$$ Il tragitto che la prima sonda percorrerà al suo secondo viaggi sarà allora< $$y_2 = \frac{c+v}{c-v} y_1 = \left ( \frac{c+v}{c-v} \right )^2 y_0$$ e all'ennesimo viaggio sarà $$y_n = \left ( \frac{c+v}{c-v} \right )^n y_0$$ Supponiamo, poi, che la prima sonda venga inviata dopo due giorni, ovvero $$y_0 = v \cdot t_{2 giorni}$$ La seconda sonda verrà lanciata dopo 3 giorni, la terza dopo 4 e così via. Quindi in generale il punto di partenza iniziale per la sonda $k$ sarà $$y_0^{(k)} = v \cdot t_{1+k giorni}$$ A questo punto, ponendo $c=1$ e il tempo in giorni, potremo ricavare una tabella tipo quella nell'immagine qui sotto:

Proviamo, ora a porci questa domanda: quante volte devo lanciare una sonda prima di raggiungere, ad esempio, Proxima Centauri b, il pianeta extrasolare più vicino, a una distanza di circa 4 anni luce, ovvero 1460 giorni?
Se osserviamo la tabella, concludiamo che, prima di giungere a Proxima Centauri b lanceremo la prima e la seconda sonda per 4 volte, mentre tutte le altre per 3 volte.
Se invece non vogliamo utilizzare la tabella, ma applicare una formula, dovremo invertire la formula di $y_n$ utilizzando i logaritmi. In questo caso il passaggio prima del finale (non vi scrivo quest'ultimo per motivi di visualizzazione della formula) dovrebbe essere: $$\log n = \frac{\log \frac{y_n}{y_0^{(k)}}}{\frac{c+v}{c-v}}$$ L'articolo è evidentemente ispirato al racconto di Dino Buzzati I sette messaggeri, presente sia nella raccolta dei Racconti matematici sia ne La boutique del mistero, ma anche all'articolo matematico I sette messaggeri di Dino Buzzati (pdf) del mio professore di matematica del liceo Ottavio Serra, dove invece pone $v=1$ per avere una serie numerica. La mia scelta differente è, invece, dovuta proprio all'idea iniziale di reinterpretare in termini fantascientifici il racconto di Buzzati, calandolo nel contesto del viaggio nell'universo.