Paralipomeni di Alice: Il gioco delle monete di Alice e Bob

Chiusa la serie delle soluzioni dedicate ai rompicapi tratti da A tangled tale, mentre la serie classica dei Rompicapi di Alice ha ripreso le uscite "regolari", per i Paralipomeni ho pensato di dare il via a una serie dedicata ai quesiti matematici, logici e statistici ideati appositamente per le intelligenze artificiali del terzo millennio di cui avevo scritto tempo fa.
In questo primo articolo che da il via ufficiale alla serie, voglio confrontare i risultati ottenuti da Copilot, Cluade e Gemini con il primo di quei venti problemi:

Alice e Bob partecipano a un programma televisivo. Nel gioco proposto, il conduttore lancia 100 monete eque e, senza mostrare i risultati ai due concorrenti, le nasconde sotto 100 bicchieri opachi numerati da 1 a 100, con il risultato (testa o croce) rivolto verso l'alto. Il conduttore dà quindi il via al gioco e i due iniziano a controllare i risultati delle monete con la stessa velocità: Alice esamina le monete sotto i bicchieri in ordine crescente {1, 2, 3, ..., 100}, mentre Bob controlla prima le monete sotto i bicchieri con numero dispari e poi quelle sotto i bicchieri con numero pari {1, 3, ..., 99, 2, 4, ..., 100}. Si supponga che i risultati osservati da uno non siano visibili all'altro; ad esempio, mentre Alice controlla la moneta sotto il bicchiere 2, non vede il risultato che Bob sta osservando in quello stesso istante sotto il bicchiere 3, e viceversa. Vince chi per primo vede due volte "testa". Qual è il rapporto tra la probabilità che vinca Alice e la probabilità che vinca Bob?

In questo caso il risultato dei tre modelli di IA è identico: \[\frac{P(A)}{P(B)} = 1\] Seguiamo, invece, il ragionamento presente nelle soluzioni in fondo all'articolo da cui il gioco è tratto.
Di fatto abbiamo due sequenze di variabili casuali: la prima coincide con le osservazioni di Alice, la seconda con quelle di Bob. Queste due sequenza sono le osservazioni alternate di bicchieri dispari-pari di Alice e quelle prima tutte dispari e poi tutte pari di Bob. A questo punto i ricercatori suddividono il problema in quattro intervalli temporali: il gioco finisce in un qualche momento \(t = 2m-1\) entro la 25.ma osservazione \(m\); il gioco finisce in un qualche momento \(t=2m-1\) compreso tra la 26 e la 50.ma osservazione; il gioco finisce in un qualche momento \(t=2m\) entro la 25.ma osservazione; il gioco finisce in un qualche momento \(t=2m\) tra la 26.ma e la 49.ma osservazione.
Per ognugno di questi intervalli calcolano le probabilità di vittoria di Alice e poi fanno un calcolo analogo per Bob. Queste quattro probabilità per Alice e per Bob vengono sommate tra loro per ottenere la probabilità di Alice che risulta essere \(P(A) \approx 0.3120\) e la probabilità di Bob che risulta essere \(P(B) \approx 0.4169\).
Il rapporto tra queste due fornisce la risposta alla domanda del gioco: \[\frac{P(A)}{P(B)} \approx 0.75\] E dunque Claude e Copilot restano in testa a questa specie di classifica delle IA conversazionali grazie alla risposta esatta del quesito ispirato a Monty Hall.
L'appuntamento è, a questo punto, con il prossimo gioco per intelligenze artificiali del terzo millennio!

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Immagine di apertura generata con Gemini