Una parte grande quanto il tutto

Ieri ero quasi entrato in una delle terze della scuola dove sto supplendo (materia: fisica) quando un paio di studenti della classe quarta della stessa sezione mi chiamano per pormi una domanda. Mi aspetto uno dei soliti giochini di matematica creativa, quand'ecco invece una domanda decisamente inaspettata, una domanda sull'infinito!
Di infinito se ne era già scritto, qui sopra, e visto che questi link potrebbero servirmi, vale la pena, prima di ricapitolare velocemente la questione, metterli a disposizione in queste prime righe, ovvero Georg Cantor, l'uomo che ha sviluppato la matematica dell'infinito; le recensioni sui tre libri dedicati all'infinito; Quella sagoma di Arlecchino, che nella seconda parte propone il paradosso di Banach-Tarski.
Detto questo iniziamo subito: il numero di elementi contenuti nell'intervallo $[0;1]$ dei numeri reali è, ad esempio, lo stesso del numero di elementi contenuti nell'intervallo $[0;1000]$. Prima di rispondere, tra l'altro positivamente alla domanda, bisogna introdurre un primo concetto, ovvero quello della cardinalità: con questa proprietà in pratica si identificano il numero di oggetti contenenti in un dato insieme. Ad esempio gli oggetti contenuti nell'insieme portamonete coinciderà con il numero di monete contenute nel nostro portamonete. Quando gli insiemi cui pensiamo sono insiemi finiti, è semplice vedere che un qualsiasi sottoinsieme ha cardinalità inferiore all'insieme dato, a meno di non prendere come sottoinsieme l'insieme stesso. Quando però gli insiemi sono infiniti, la questione diventa leggermente meno intuitiva.
Il primo ad accorgersi di questo fatto fu il nostro Galileo Galilei, che scoprì quello che poi venne chiamato come Il paradosso di Galileo: la cardinalità dell'insieme dei numeri interi è la stessa dell'insieme degli interi quadrati, o detta in altri termini tutti i numeri naturali sono la radice quadrata di un altro numero naturale. O detta ancora più semplice: di qualunque numero naturale posso sempre calcolare il quadrato. Se così non fosse, i naturali sarebbero superiori ai naturali al quadrato.
In questo modo io sto associando a ciascun numero naturale il suo quadrato, ovvero sto costruendo una corrispondenza biunivoca, ovvero una operazione che mi associa ad ogni elementi di un dato insieme A uno e un solo elemento di un altro insieme B. Quando tra due insiemi A e B esiste una corrispondenza biunivoca, allora i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Questa prima stranezza scoperta (o forse riscoperta) da Galileo è semplicemente un indizio della forse ancora più strana proprietà che un qualsiasi sottoinsieme dei numeri reali ha la stessa cardinalità dell'insieme di tutti i numeri reali. E questo vuole anche dire che tutti i sottoinsiemi della retta reale hanno tra loro la stessa cardinalità.
Un modo per vederlo graficamente è utilizzare il paradosso del cerchio⁽¹⁾:

Facendo partire delle rette dall'origine del cerchio, posso associare ciascun punto di una qualsiasi corda all'interno della circonferenza con ciascun punto di una corda più grande o, addirittura, con ciascun punto della retta tangente del cerchio e parallela alla corda!
Forse è una dimostrazione un po' semplicistica, ma ha il pregio di essere semplice e diretta e, soprattutto, spero sia sufficiente per convincere i miei studenti e placare la loro sete di curiosità matematiche, senza che debba passare l'ore prevista della giornata di oggi a raccontare i numeri trascendentali e altri paradossi sull'infinito.

(1) Immagine tratta da Galileo's Views on Infinity di Lubański, M., pubblicato su The Galileo affair: A meeting of faith and science, Proceedings of the Cracow Conference, May 24-27, 1984

Libri sull'orlo dell'infinito

Con il ritratto dedicato a Georg Cantor ho cercato di raccontare un po' della storia che sta dietro la ricerca sull'infinito in matematica. Alla base di quella biografia ci sono due dei tre libri che oggi vorrei mettere a confronto, Tutto, e di più, di David Foster Wallace, nell'edizione di Codice abbinata con Le Scienze, e Il mistero dell'alef di Amir D. Aczel. A questi due testi va aggiunto Verso l'infinito ma con calma del nostro Roberto Zanasi.
Dei tre testi quello più emozionante e appassionante è sicuramente il primo: DFW riesce ad essere estremamente rigoroso, tanto che Tutto, e di più potrebbe tranquillamente essere adottato come libro di testo anche all'università. Lo stile è certamente piuttosto discorsivo per un libro di questo genere, ma la profondità dei concetti raccontati e il modo in cui DFW ha scelto di trattarli lo rende una lettura decisamente avanzata. Il criterio che ha poi seguito per raccontare la storia sulla matematica dell'infinito non è tanto quello cronologico (motivo per cui le informazioni biografiche sono ridotte all'osso), quanto un tentativo logico di avvicinarsi per gradi al cuore dell'infinito. I concetti matematici, infatti, sono raccontati per gradi in modo che il lettore possa avvicinarsi al concetto successivo forte della conoscenza precedente: è sostanzialmente per questo che il libro di DFW potrebbe tranquillamente essere adottato come libro di testo, visto che l'impostazione di base lo ricorda molto.
Questo non vuol certo dire che un lettore qualsiasi non possa provare a leggerlo, ma come si suol dire: lettore avvisato, mezzo salvato!

Il mistero dell'alef potrebbe, invece, far parte, di quel gruppo di testi che lo stesso DFW definisce pop, ma non in senso buono, tra tutti i testi dedicati a Cantor e alla sua vita. In effetti Aczel, soprattutto nella prima parte, non disdegna l'uso di aneddoti anche non verificati o un certo ammiccamento verso il misticismo. C'è addirittura un intero capitolo dedicato alla cabala: niente di eccezionalmente mistico, in fondo si sta parlando di un libro di matematica, e poi l'intento dell'autore è quello di mostrare come si possa trovare la matematica, in particolare quella dell'infinito, un po' dappertutto, e come anche i gruppi di filosofi apparentemente più impensati si siano avvicinati al concetto stesso.
Ad ogni modo il capitolo è attraversato, se così si può dire, dal concetto di En Sof, ovvero Infinito. Questo concetto veniva utilizzato dai cabalisti per descrivere Dio, altrimenti indescrivibile e incomprensibile, se non attraverso la limitata visione delle dieci sefiroth, che sono gli unici aspetti comprensibili del divino oltre ad essere i nodi dell'albero della vita, su cui ad esempio si basa uno dei più bei romanzi italiani di tutti i tempi, Il pendolo di Foucault. In un certo senso tutta questa storia si En Sof e sefiroth sembra un modo diverso per esprimere un concetto matematico come questo: la somma delle parti di cui il tutto è costituito è inferiore rispetto al tutto. Non solo: quando poi i cabalisti si occupano di geometria (rette, punti, rette che viaggiano verso l'infinito) sembra proprio che nelle loro elucubrazioni mistiche si siano avvicinati al concetto di infinito così come è oggi concepito.
Interessante, poi, osservare come nel suo excursus storico Aczel citi due matematici e religiosi minori, Thomas Bradwardine e Nicola Cusano. Il primo fece alcune osservazioni interessanti sulle grandezze continue:

sono composte da un numero infinito di continui dello stesso tipo.

Il secondo, partendo da queste osservazioni, arrivò a concludere che, seppur per motivazioni teologiche, i lati di un poligono inscritto in una circonferenza, tenda all'infinito all'aumentare degli stessi. Nonostante ciò, però, un poligono non potrà mai coincidere con un cerchio, per quanto siano numerosi i suoi lati.