La congettura di Rota

Attenzione: i contenuti sono abbastanza avanzati, più del solito. Forse anche la semplificazione non è così... semplice. Ad ogni modo, spero ci proviate lo stesso a leggerlo tutto, o almeno solo un pochino!

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Uno degli aspetti più interessanti dei matematici moderni, soprattutto di quelli di qualità, è la loro capacità di cogliere gli aspetti in comune tra branche apparentemente distanti tra loro. E' in effetti il caso della storia dietro la congettura scoperta nel 1970 da Gian-Carlo Rota⁽⁶⁾, che parte dalla definizione di matroide.
Questo oggetto dal nome forse non troppo rassicurante, introdotto nel 1935 da Hassler Whitney⁽³⁾ è, in effetti, una coppia di oggetti matematici, $(E, I)$, dove $E$ è in insieme finito, detto insieme ambiente, ed $I$ una collezione di sottoinsiemi di $E$ chiamati insiemi indipendenti, tale che

1. l'insieme vuoto è indipendente;
2. sottoinsiemi di insiemi indipendenti sono indipendenti;
3. per ogni insieme $X \subseteq E$, i maggiori sottoinsiemi indipendenti di $X$ hanno tutti la stessa dimensione.

Una matroide è, per esempio, una collezione di vettori in uno spazio vettoriale, o l'insieme delle colonne di una matrice. Data, quindi, una matrice, definita su un dato campo $F$ (l'insieme dei numeri che compongono le celle della matrice), si può costruire la matroide colonna della matrice di partenza costruendo i sottoinsiemi di colonne linearmente indipendenti della matrice stessa (l'insieme $I$ di una matrice $3 \times 3$ con colonne linearmente indipendenti sarà, quindi, costituito da 4 insiemi, quello formato dalle tre colonne prese insieme e i tre costituiti da ciascuna coppia di colonne).